Rappel de l’énonce
Considérons l’équation :
\[\frac{x +5}{x-7} – 5 = \frac {4x-40}{13-x}.\]
L’équation peut s’écrire :
\[\displaystyle \frac{x+5 -5(x-7)}{x-7} = \frac{4x-40}{13-x},\]
d’où
\[\displaystyle \frac{4x-40}{7-x} = \frac {4x-40}{13-x}.\]
Les numérateurs étant égaux, les dénominateurs le sont aussi, donc :
\[7-x=13-x.\]
En additionnant \(x\) à chaque membre de l’équation, on a
\[7=13.\]
Qu’est-ce qui ne va pas ?
La solution
Nous avons utilisé la règle de simplification suivante :
Si deux fractions ayant le même numérateur \(a/b\) et a/c sont égales, alors les dénominateurs sont égaux \(b = c.\)
Revoyons la démonstration de cette règle qui semble évidente.
On part de :
\[a/b = a/c. \]
On multiplie par \(1/a\) de chaque côté de l’égalité. Cela donne
\[1/b = 1/c.\]
On utilise alors la règle selon laquelle deux nombres qui possèdent le même inverse sont égaux, et donc : \[b = c.\]
Dans le raisonnement, on multiplie par \(1/a,\) ce qui suppose que \(a\) est différent de 0. La règle doit donc être énoncée sous la forme précise :
Si deux fractions ayant le même numérateur \(a/b\) et a/c avec \(a \neq 0\) sont égales, alors les dénominateurs sont égaux \(b=c.\)
Dans notre calcul paradoxal, avions-nous \(a\neq 0,\) c’est-à-dire \(x\neq 10\) ?
Justement non ! Par définition, \(x\) est la solution de l’équation :
\[\frac{x +5}{x-7} – 5 = \frac {4x-40}{13-x}.\]
Calculons-la. En réduisant au même dénominateur, et en simplifiant, on obtient successivement :
\[\displaystyle \frac{x+5 -5(x-7)}{x-7} = \frac{4x-40}{13-x},\]
d’où
\[\displaystyle \frac{4x-40}{7-x} = \frac {4x-40}{13-x}.\]
\[(4x-40)(13-x) = (4x-40)(x-7) \\ (4x-40)(13-x ) – (4x-40)(x-7) = 0 \\ 4(x-10)(13-x-x+7) = 0 \\ 8(x-10)(10-x) = 0\]
On constate que la solution (et il n’y en a qu’une) est \(x = 10.\)
Nous avions donc appliqué la règle indiquée dans un cas illicite puisque la solution annule le dénominateur.