• Accueil
  • À propos
  • Accrom\(\alpha\)th en PDF
  • Commanditaires
  • Contact et Abonnements
  • Sites amis

Logo

Section problèmes : volume 10.1

Par Christiane Rousseau
Volume 10.1 - hiver-printemps 2015

probleme10-1-1Image médicale

1. On considère une droite \(R(r, \theta)\) passant par \((x, y)\) et paramétrée par le vecteur \(\vec{v} = (r \cos \theta, r \sin \theta)\) (voir figure). Montrer que le produit scalaire du vecteur \((x, y)\) avec le vecteur unitaire \(\vec{e} = (\cos \theta, \sin \theta)\) dans la direction du vecteur \(\vec{v}\) vaut précisément \(r.\)

Confidences d’Archimède

probleme-10-1-2

    1. On revient sur certaines des relations entre divers éléments de la deuxième figure présentée dans l’article. En vous appuyant sur les propriétés géométriques de cette figure (voir ci-contre) – notamment sur les triangles semblables qu’on peut y observer-, montrer que :
      a) le point N est le milieu de MO;
      b) \(\displaystyle \frac {MO}{OP} = \frac {CK}{KN}.\)

problem-10-1-3

  • On s’intéresse ici au résultat énoncé à la p. 21, comparant l’aire du triangle ACF à celle du triangle ABC.
    Rappelons que AF et DE sont parallèles, que D est le milieu de AC et B, le milieu de DE.
    Afin d’établir que le triangle ACF vaut, en aire, quatre fois le triangle ABC, montrer que
    a) l’aire du triangle ACF est le double de l’aire du triangle ACK;
    b) de même, ACK a une aire double de celle du triangle ABC.
  • Cet exercice porte sur le fait que dans un triangle quelconque, les trois médianes sont concourantes, le point où elles se rencontrent étant situé au tiers de chacune d’elles.
    (Rappelons qu’une médiane dans un triangle est un segment reliant un sommet au milieu du côté opposé.)
    problem-10-1-4
    a) Soit le triangle ABC. Intéressons-nous d’abord aux médianes AD et CF et appelons G leur point d’intersection. Considérons ensuite le quadrilatère DFHI, où H est le milieu de AG et I, le milieu de CG.
    Montrer que DFHI est un parallélogramme.
    b) En conclure que DG vaut le tiers de AD et FG, le tiers de CF.
    c) Considérant maintenant les médianes AD et BE, montrer que le raisonnement précédent peut être adapté de sorte à montrer que les médianes passent toutes les trois par le point G, et que celui-ci coupe chacune d’elles au tiers.
  • Nous reprenons l’idée d’un levier sur lequel seraient posées la Terre et la Lune, le point d’appui étant placé de manière telle que la masse de la Lune suffirait à soulever la Terre – voir l’encadré « Soulever la Terre ». Nous acceptons pour les fins du problème les données suivantes :1
    • masse de la Terre : 5,9722 — 1024 kg
    • masse de la Lune : 7,3477 — 1022 kg
    • rayon de la Terre : 6,3710 — 103 km
    • rayon de la Lune : 1,7375 — 103 km
    • distance Terre/Lune : 3,8440 — 105 km

    Déterminer la position du point d’appui du levier telle que le système soit en équilibre.

 

PDF

  1. Données tirées de deux sites de la NASA : http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.c fm?Object=Earth&Display=Facts, et http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Moon&Display=Facts. ↩
  • ● Version PDF
Partagez
  • tweet

Etiquettes : Section problèmes

Articles récents

  • Se rendre invisible, est-ce possible ?

    Christiane Rousseau
  • Points, droites et plans

    André Ross
  • Le jeu de Nim

    Christiane Rousseau

Sur le même sujet

  • Section problèmes : vol. 20.1

    André Ross et Bernard R. Hodgson
  • Section problèmes : vol. 19.2

    André Ross
  • Section problèmes : vol. 19.1

    André Ross et Bernard R. Hodgson

Volumes

  • Volume 19.1 – hiver-printemps 2024
  • Volume 19.2 – été-automne 2024
  • Volume 20.1 – hiver-printemps 2025
  • Volume 18.2 – été-automne 2023
  • Volume 18.1 – hiver-printemps 2023
  • Volume 17.2 – été-automne 2022
  • Volume 17.1 – hiver-printemps 2022
  • Journée internationale des mathématiques: Accromath multilingue
  • Volume 16.2 – été-automne 2021
  • Volume 16.1 – hiver-printemps 2021
  • Volume 15.2 – été-automne 2020
  • Thème spécial: Les mathématiques sont partout
  • Volume 15.1 – hiver-printemps 2020
  • Volume 14.2 – été-automne 2019
  • Volume 14.1 – hiver-printemps 2019
  • Volume 13.2 – été-automne 2018
  • Volume 13.1 – hiver-printemps 2018
  • Volume 12.2 – été-automne 2017
  • Volume 12.1 – hiver-printemps 2017
  • Volume 11.2 – été-automne 2016
  • Volume 11.1 – hiver-printemps 2016
  • Volume 10.2 – été-automne 2015
  • Volume 10.1 – hiver-printemps 2015
  • Volume 9.2 – été-automne 2014
  • Volume 9.1 – hiver-printemps 2014
  • Volume 8.2 – été-automne 2013
  • Volume 8.1 – hiver-printemps 2013
  • Volume 7.2 – été-automne 2012
  • Volume 7.1 – hiver-printemps 2012
  • Volume 6.2 – été-automne 2011
  • Volume 6.1 – hiver-printemps 2011
  • Volume 5.2 – été-automne 2010
  • Volume 5.1 – hiver-printemps 2010
  • Volume 4.2 – été-automne 2009
  • Volume 4.1 – hiver-printemps 2009
  • Volume 3.2 – été-automne 2008
  • Volume 3.1 – hiver-printemps 2008
  • Volume 2.2 – été-automne 2007
  • Volume 2.1 – hiver-printemps 2007
  • Volume 1 – été-automne 2006
  • Article vedette

    Auteurs

    • Michel Adès
    • Antoine Allard
    • Jean Aubin
    • Marie Beaulieu
    • Rosalie Bélanger-Rioux
    • Claude Bélisle
    • Léo Belzile
    • Marc Bergeron
    • Pierre Bernier
    • André Boileau
    • Véronique Boutet
    • Pietro-Luciano Buono
    • Jean-Philippe Burelle
    • Massimo Caccia
    • Jérôme Camiré-Bernier
    • France Caron
    • Philippe Carphin
    • Kévin Cazelles
    • Laurent Charlin
    • Pierre Chastenay
    • Noémie Chenail
    • Christian Côté
    • Jocelyn Dagenais
    • Marie-France Dallaire
    • Jean-Lou de Carufel
    • Jean-Marie De Koninck
    • Lambert De Monte
    • Jean-Paul Delahaye
    • Marc-André Desautels
    • Florin Diacu
    • Jimmy Dillies
    • Nicolas Doyon
    • Philippe Drobinski
    • Hugo Drouin-Vaillancourt
    • Louis J. Dubé
    • Thierry Duchesne
    • Matthieu Dufour
    • Stéphane Durand
    • Thomas Erneux
    • Philippe Etchécopar
    • Julien Fageot
    • Charles Fleurent
    • Serge Fontaine
    • Jérôme Fortier
    • Marlène Frigon
    • Jean-François Gagnon
    • André Garon
    • Christian Genest
    • Denis Gilbert
    • Jonathan Godin
    • Frédéric Gourdeau
    • Samuel Goyette
    • Andrew Granville
    • Jean Guérin
    • Hervé Guillard
    • Abba B. Gumel
    • James A. Hanley
    • Alain Hertz
    • Bernard R. Hodgson
    • Isabelle Jalliffier-Verne
    • Guillaume Jouvet
    • Tomasz Kaczynski
    • Patrick Labelle
    • Marc Laforest
    • Nadia Lafrenière
    • Josiane Lajoie
    • Alexis Langlois-Rémillard
    • Simon-Olivier Laperrière
    • René Laprise
    • Steffen Lauritzen
    • Denis Lavigne
    • Adrien Lessard
    • Steven Lu
    • Jean Meunier
    • Erica Moodie
    • Normand Mousseau
    • Johanna G. Nešlehová
    • Pierre-André Noël
    • Dmitry Novikov
    • Ostap Okhrin
    • Laurent Pelletier
    • Jean-François Plante
    • Serge B. Provost
    • Annie Claude Prud'Homme
    • Benoît Rittaud
    • Louis-Paul Rivest
    • Serge Robert
    • André Ross
    • Guillaume Roy-Fortin
    • Yvan Saint-Aubin
    • Maria Vittoria Salvetti
    • Charles Senécal
    • Vasilisa Shramchenko
    • Robert Smith?
    • Dylan Spicker
    • Anik Trahan
    • Shophika Vaithyanathasarma
    • William Verreault
    • Redouane Zazoun

Sujets

Accro-flashs (18) Algèbre (2) Applications (3) Applications des mathématiques (74) Changements climatiques (3) Climat (1) Construction des mathématiques (4) COVID-19 (10) Cristallographie (2) cryptographie (2) GPS (2) Gravité (2) Géométrie (12) Histoire des mathématiques (27) Imagerie (2) Infini (2) Informatique (2) Informatique théorique (3) Jeux mathématiques (2) Logique mathématique (18) Lumière (5) Mathématiques de la planète Terre (18) Mathématiques et architecture (1) Mathématiques et arts (8) Mathématiques et astronomie (6) Mathématiques et biologie (7) Mathématiques et développement durable (9) Mathématiques et littérature (9) Mathématiques et musique (1) Mathématiques et médecine (11) Mathématiques et physique (3) Mathématiques et transport (5) Modélisation (1) Nombres (4) Pavages (5) Portrait d'un mathématicien (20) Portrait d'un physicien (3) Probabilités (8) Probabilités et statistique (19) Racines (2) Rubrique des Paradoxes (71) Section problèmes (41) Théorie des groupes (1) Éditorial (38) Épidémiologie (2)
    • Instagram
    • Facebook

    © 2025 Accromath