Découvrez la clothoïde, aussi appelée spirale de Cornu, la courbe idéale pour éviter les dérapages…
Notre intuition nous joue des tours
Si on vous demandait de concevoir un tracé pour une voie ferrée reliant deux villes, il y a fort à parier que vous choisiriez de faire un tracé aussi droit que possible et, s’il devait y avoir des tournants, ceux-ci seraient des arcs de cercle, en évitant bien sûr de tracer des tournants trop serrés. Pour un tracé de route, vous auriez sans doute une approche semblable.
Un trajet difficile
Est-ce bien ainsi que sont dessinées les vraies voies de chemin de fer et, en particulier, est-ce que les tournants sont bien des arcs de cercle? En réalité, un tel tracé poserait de sérieux problèmes: un raccord droite-cercle est certainement continu et semble pouvoir se faire en douceur, mais ce n’est pas le cas. Pour un objet se déplaçant à vitesse constante sur un tel tracé, le passage d’un trajet rectiligne à un trajet suivant un arc de cercle occasionne une accélération perpendiculaire à la vitesse de déplacement, accélération qui est d’autant plus grande que le rayon du cercle est petit. Le problème est que cette accélération est brusque: l’accélération n’est pas graduelle, elle est instantanée.
La courbure
On peut tracer un cercle tangent à une courbe en un point P si la courbe est suffisamment régulière en ce point. Parmi les cercles que l’on peut ainsi tracer, il en est un qui approxime la courbe de manière optimale au voisinage de ce point: c’est le cercle osculateur.
Cercle osculateur de la courbe au point P
La courbure en P est l’inverse du rayon du cercle osculateur, aussi appelé rayon de courbure.
Une définition équivalente de la courbure établit le lien avec le problème des tracés de route. En effet, la courbure est la norme du vecteur d’accélération d’un objet parcourant la courbe à la vitesse constante 1. Comme la vitesse est constante, le vecteur accélération est toujours orthogonal à la direction du déplacement. On voit facilement que ce vecteur est de longueur nulle dans le cas d’une droite, ce qui donne bien une courbure nulle. Dans le cas d’un point se déplaçant sur un cercle de rayon r à une vitesse constante v, on peut montrer que l’accélération est donnée par \(v^2/r,\) auquel cas la courbure est bien \(1/r,\) ce qui correspond bien à l’inverse du rayon du cercle.
Accélération et courbure
Une courbe est plus ou moins prononcée: mathématiquement, on dira que la courbure est plus ou moins forte. La courbure en un point d’une courbe est une valeur numérique qui indique de manière précise si la courbe est prononcée en un certain point (courbure élevée) ou pas (courbure faible). Ainsi, la courbure en tout point d’une droite est nulle, et la courbure en tout point d’un cercle est définie comme étant l’inverse de son rayon: plus le rayon est petit, plus cette courbure est élevée. La droite et le cercle sont donc de courbure constante.
Lorsqu’un objet passe d’un trajet en ligne droite à un trajet le long d’un arc de cercle, il subit instantanément une accélération dont la norme est proportionnelle au rayon du cercle. Cette accélération ne se fait donc pas graduellement. Si un train suit une telle trajectoire, les passagers subiront un choc d’autant plus important que la vitesse du train est grande: dans un TGV, ce serait le vol plané des tasses de café!
La clothoïde à la rescousse
Pour permettre une transition en douceur entre un tracé rectiligne et un tournant, il faut une courbe dont la courbure (et donc, l’accélération) augmente linéairement avec la distance parcourue : on peut ainsi passer d’une courbure nulle à la courbure souhaitée, et le trajet peut alors se poursuivre le long d’un arc de cercle. Et pour sortir du virage, on suivra le même type de courbe, dans le sens inverse. C’est précisément cela que permet la clothoïde.
Qu’est-ce donc que la clothoïde? C’est la trajectoire qui, parcourue à vitesse constante, est telle que sa courbure varie linéairement. C’est donc la trajectoire pour laquelle la force centrifuge ressentie par l’automobiliste qui conduit à vitesse constante le long de cette courbe varie continûment.
On voit que la clothoïde est en fait une spirale: on la nomme aussi spirale de Cornu, spirale d’Euler et spirale de Fresnel. Elle est utilisée par les ingénieurs qui conçoivent les tracés de voies ferrées et ceux de sorties d’autoroute, car ils en connaissent bien les propriétés. D’ailleurs, vous pourrez remarquer qu’en négociant le virage d’une sortie d’autoroute, vous tournez progressivement le volant pour ensuite le dérouler progressivement, ce qui vous assure une meilleure maîtrise du véhicule.
La clothoïde
Soit \(r(t) = (x(t), y(t))\) l’équation paramétrique de la clothoïde dans un repère cartésien. Si on suppose que la vitesse est constante et égale à 1, alors la distance parcourue au temps \(t\), dénotée par \(s(t),\) est telle que \(s(t) = t.\) La définition de la clothoïde est alors \(k(s) = s,\) où \(k(s)\) est la courbure au point situé à une distance s du début de la clothoïde.
Les équations paramétriques de la clothoïde sont alors
\[x(t) = \int_{0}^{t} \cos \left ( \frac{\pi}{2} u^2 \right ) du \\ y(t) = \int_{0}^{t} \sin \left ( \frac{\pi}{2} u^2 \right ) du\]
Le tracé de la clothoïde ci-contre a été réalisé à l’aide de GeoGebra.
Lorsque l’on voit le tracé obtenu, on peut mieux comprendre le nom de la courbe. En effet, clothoïde vient du grec klothein, qui veut dire « filer » (la laine)1: l’allure de la courbe rappelant celle du fil qui s’enroule le long d’un rouet.
Une courbe aux multiples facettes
L’usage de la clothoïde est très répandu: on la retrouve dans la forme des sabots montés sur les pylônes qui supportent les fils de téléphérique, de même que dans la conception géométrique des montagnes russes de la plupart des manèges2.
En graphisme, on a bien documenté l’utilisation de la clothoïde pour la création de caractères d’imprimerie et de leurs déformations continues. Plus récemment3, la généralisation en 3D de la clothoïde a été proposée pour la modélisation de divers filaments élastiques et de leurs déformations dans des environnements virtuels: boucles de cheveux et rubans courbés sont ainsi modélisés de manière plus souple et plus réelle, et leur comportement lors de mouvement ou de déformation colle davantage à la réalité.
Image: Hannes Grobe, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noch-maerklin_hg.jpg
Pour en s\(\alpha\)voir plus!
http://www.mathcurve.com/courbes2d/cornu/cornu.shtml
COURTY, Jean-Michel et KIERLIK, Édouard, « La courbe antisecousse », Pour la Science No 425, mars 2013.
CASATI, Romain et BERTAILS-DESCOUBES, Florence, « Super space clothoids », ACM Transactions on Graphics (TOG) – SIGGRAPH 2013 Conference Proceedings, Vol 32, no 4, juillet 2013.
ROLLAND, Franck, « Cette clothoïde qui n’en est pas une », Strasse und Verkehr, 2006, vol. 92, no10, p. 24-27.
MCCRAE, James et SINGH, Karan, « Sketching piecewise clothoid curves », Proceedings of the Fifth Eurographics Conference on Sketch-Based Interfaces and Modeling, 2008, p. 1-8, Eurographics Association, Aire-la-Ville, Suisse.
- Dans la mythologie grecque, la destinée humaine est régie par trois sœurs: les Parques. Ce sont Atropos qui fabrique le fil ou la laine de la destinée, symbolisant la naissance, Clothos qui enroule la laine sur un fuseau, symbolisant le déroulement de la vie et Lachésis qui coupe la laine de la destinée, symbolisant la mort. ↩
- Pour des explications additionnelles, voir « La courbe antisecousse », Jean-Michel Courty et Édouard Kierlik, Pour la Science no. 425, mars 2013. ↩
- « Super space clothoids », Romain Casati et Florence Bertails-Descoubes, ACM Transactions on Graphics (TOG) – SIGGRAPH 2013 Conference Proceedings, Vol 32, no 4, juillet 2013. ↩
