Cristaux
(niveau secondaire)
1. Montrer que la composition d’une rotation d’ordre 2 avec une translation de vecteur \(\vec{v}\) est encore une rotation d’ordre 2, dont le centre est situé à la distance \(\vec{v}/2\) du premier centre.
2. Montrer que la composition de deux symétries par rapport à deux droites faisant un angle \(\theta\) est une rotation d’angle \(2\theta.\)
(niveau cégep)
1. Montrer que la composition d’une rotation d’angle \(\theta\) avec une translation est encore une rotation d’angle \(\theta\) autour d’un nouveau centre.
2. Montrer que la composition d’une rotation d’angle \(\theta\) centrée en un point \(O\) avec une rotation d’angle \(\theta’\) centrée en un point \(O’\) est une rotation d’angle \(\theta + \theta’\) centrée en un nouveau centre \(O ».\)
Suggestion : Pour ces deux numéros, utiliser les nombres complexes. Une
rotation d’angle \(\theta\) s’écrit \( z \mapsto e^{i\theta}z\) et une translation \( z \mapsto z + v,\) ouÌ€ \(v\) est le nombre complexe représentant le vecteur \(\vec{v}\). Le centre de rotation de la composition est le point fixe de la transformation.
3. Réseaux de Bravais
a) La liste des réseaux de Bravais en dimension 3 ne semble pas contenir de réseau dont une maille élémentaire est un prisme vertical sur une base horizontale en forme de losange quelconque : \(a = b \not= c, \alpha = \beta = 90^{\circ} \not= \gamma.\)
Pourtant, il y en a un. Pouvez-vous trouver lequel?
b) Même question pour un prisme oblique sur une base en forme de losange : \(a = b \not= c.\)
c) Pouvez-vous trouver lequel des réseaux de Bravais 3D correspond à \(a = b \not= c, \alpha = \beta \not= \gamma?\)
Jeux de lumière et d’interférence
1. Soient \(v_1\) et \(v_2\) deux vecteurs de longueur \(a_1\) et \(a_2\) faisant des angles \(\phi_1\) et \(\phi_2\) avec l’horizontale.
a) VRAI ou FAUX : la somme
\[a_1, \cos \phi_1 + a_2 \cos \phi_2\]
est la longueur de la projection sur l’horizontale de la grande diagonale du parallélogramme sous-tendu par les deux vecteurs.
b) VRAI ou FAUX : l’angle entre cette diagonale et l’horizontale est \((\phi_2-\phi_1)/2.\)
2. Un projet de laboratoire : sachant que la longueur d’onde du rouge est environ \(700 \;\mathrm{nm} = 7 \times 10^{-7} \mathrm{m},\) déterminer l’ordre de grandeur de la distance entre les sillons d’un disque compact (CD).
Suggestion : Déposer un disque compact sur une table bien éclairée pour que la face gravée soit visible. Tenir un carton (ou une feuille) perpendiculairement à la table et déplacer l’œil le long de la tranche du carton pour déterminer deux positions consécutives où la lumière perçue est rouge. Puis … penser!
