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Rubrique des paradoxes : L’arithmétique malmenée par la géométrie

Par Jean-Paul Delahaye
Volume 9.2 - été-automne 2014

Les paradoxes suivants proviennent de la géométrie du découpage.

paradoxes1Si vous regardez attentivement la figure 1, vous devrez admettre qu’elle est étrange.

a) Un triangle est découpé en quatre morceaux;

b) Les morceaux sont placés d’une nouvelle façon dans le triangle initial;

c) Surprise ! Il manque maintenant un carré pour en occuper totalement la surface.

Ce type de paradoxe est parfois attribué au magicien prestidigitateur Paul Curry (on parle de paradoxe de Curry) qui, en 1953, en aurait proposé un. Des traces plus anciennes ont cependant été trouvées de ce type de découpage dont l’origine reste mal connue.

paradoxes2La figure ci-contre est une démonstration par déplacements géométriques que 8 x 8 (l’aire du carré) est égal à 5 x 13 (l’aire du rectangle).

Pourtant 8 x 8 = 64 et 5 x 13 = 65. Aurait-on démontré que :

64 = 65?
La figure 3 montre de même que

10 x 13 = 8 x 8 + 8 x 8,
c’est-à-dire que :

130 = 128.

paradoxes3

La figure 4 (due au psychiatre L. Vosburgh) montre que :

12 x 10/2 = 12 x 10/2 – 2 = 7 x 9 – 4.
C’est-à-dire que :

60 = 58 = 59.

paradoxes4

Comment tout cela est-il possible?

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