À diverses périodes de l’histoire, les mathématiciens se sont plu, à découvert ou en catimini, à utiliser des grandeurs « infiniment petites » pour soutenir leurs intuitions, voire leurs raisonnements. Un exemple intéressant se retrouve chez Kepler lorsqu’il revisite, près de vingt siècles après Archimède, certains des résultats du grand mathématicien grec.
Malgré sa concision, le traité De la mesure du cercle est important en raison de la vision riche et pertinente qu’il propose de cette figure élémentaire, mais fondamentale, qu’est le cercle.1 Archimède y introduit une relation un peu étonnante, voire inattendue, alors qu’il relie l’aire A et la circonférence C d’un cercle par la formule
\[a=\frac{1}{2}rC,\]
où r représente le rayon du cercle en cause. L’argument utilisé par Archimède pour valider ce dernier résultat est en soi des plus intéressants. Mais il ne nous renseigne aucunement sur la façon dont Archimède en serait venu à « mettre le doigt » sur cette relation particulière. Son argument justifie bien sûr le résultat hors de tout doute, mais il n’en fournit ni motivation, ni explication. Comment diable Archimède a-t-il reconnu le triangle rectangle de cathètes r et C? Autant que je sache, on ignore quel cheminement a pu mener le Syracusain à son résultat.2
Le présent texte vise dans un premier temps à montrer comment, si on est prêt à accepter l’existence de segments de droite de longueur « infiniment courte » — ce qui, il convient de le souligner, est plutôt audacieux comme hypothèse —, il est alors possible de proposer un argument assez simple menant d’emblée au résultat d’Archimède. Un tel type de segment permet en effet de voir le cercle comme une espèce de « polygone avec une infinité de côtés », ce qui mène à une approche qui, on le verra, peut s’avérer assez naturelle, intuitivement parlant. Dans un deuxième temps, il sera question de transposer ces intuitions du contexte 2D au 3D, permettant ainsi de retrouver certains résultats fondamentaux à propos de la sphère.
Un regard képlérien sur le résultat d’Archimède
L’idée de considérer le cercle comme un polygone régulier à un « nombre infini de côtés », chacun « infiniment petit », se retrouve apparemment pour la première fois de façon explicite chez le philosophe allemand Nicolas de Cues (1401-1464), penseur influent de la fin du Moyen Âge. Il introduit cette vision dans le cadre de travaux (infructueux) portant sur la quadrature du cercle. Mais il faut attendre l’astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) avant qu’une telle approche infinitésimale ne soit véritablement mise à profit.
C’est bien sûr pour ses travaux d’astronomie, et principalement les trois lois du mouvement planétaire qui portent aujourd’hui son nom, que Kepler est connu. On lui doit cependant de nombreuses contributions en mathématiques, portant notamment sur les logarithmes, les coniques, les polyèdres réguliers étoilés et l’empilement de sphères.3 Il a aussi laissé sa marque dans le calcul d’aires et de volumes, où il n’hésite pas à adopter une vision infinitésimale en découpant une région donnée en « petits » morceaux d’aire ou de volume connus, dont il fait ensuite la « somme ». Cette technique est remarquablement mise en action dans son traité Nova stereometria doliorum vinariorum (Nouvelle stéréométrie4 des tonneaux de vin), dans lequel il calcule le volume (exact ou approximé) d’une flopée de solides, dont des solides de révolution. Kepler lui-même raconte les circonstances plutôt amusantes dans lesquelles il a été amené à rédiger ce traité sur la mesure de solides géométriques (voir encadré Kepler, bon mari et père de famille). Il s’y intéresse notamment au cylindre, au cône, à la sphère, ou encore à des formes qu’il appelle la pomme ou le citron (obtenues respectivement, étant donné une corde non-diamètre dans un cercle, par la révolution du grand arc de cercle ou du petit arc de cercle autour de cette corde).
Kepler, bon mari et père de famille
La Nouvelle stéréométrie des tonneaux de vin a été publiée à Linz en 1615. Dans la dédicace de ce traité adressée à deux de ses protecteurs autrichiens, Kepler mentionne la célébration récente de son (second) mariage — il était veuf et père de trois enfants — et le fait qu’il en était venu à s’interroger sur la façon dont le marchand de vin mesurait le volume des tonneaux qu’il lui vendait. Il souligne qu’à ses yeux, « il était convenable au devoir de mari et de bon père de famille que je veille au sujet de la boisson nécessaire ». S’étonnant de la technique du marchand, qui explorait « avec une et même [verge de mesure] tous les tonneaux indistinctement sans discrimination, sans respect de la forme, sans raisonnement ou calcul », Kepler affirme qu’« il ne [lui] sembla pas inconvenant, étant nouvel époux, » de mieux comprendre « cette mesure abrégée très nécessaire à la chose domestique, et d’explorer les fondements selon les lois géométriques, s’il y en avait quelques-unes ».5
Afin de préparer le terrain pour aborder ses problèmes de stéréométrie, Kepler commence par rappeler certains résultats d’Archimède à propos notamment du cercle, du cône, de la sphère et du cylindre. Il souligne cependant la difficulté de lire Archimède « dans le texte »: s’il est vrai, écrit-il dans son préambule, qu’Archimède a fourni dans ses « petits livres » des démonstrations « parfaites à tous les titres », elles sont néanmoins réservées à « quelqu’un [qui] n’a pas de l’aversion pour leur lecture subtile ». C’est pourquoi il les reprend de manière personnelle.
Kepler amorce donc sa démarche avec le cercle, redémontrant tout d’abord que la circonférence est au diamètre dans un rapport « presque comme 22 à 7 ». Poursuivant sa relecture du traité De la mesure du cercle, il compare ensuite l’aire du cercle avec le carré du diamètre (il s’agit donc du rapport 11/14 introduit à la proposition 2 de ce traité).6 C’est dans ce cadre que Kepler aborde la proposition 1 d’Archimède exprimant l’aire du cercle en fonction du rayon et de la circonférence:
Archimède se sert d’une démonstration indirecte qui conduit à l’impossible. Pour moi le sens est celui-ci. La circonférence du cercle BG a tout autant de parties que de points, pense une infinité; chacune d’elles peut être considérée comme la base d’un certain triangle isocèle de jambes égales à AB, de sorte qu’ainsi les triangles se trouvent en nombre infini dans l’aire du cercle, tousse réunissant dans l centre A par les sommets. Que la circonférence du cercle BG soit étendue sur une droite et soit BC égale à elle et perpendiculaire à AB. Donc toutes les bases imaginées de ces triangles en nombre infini ou secteurs seront sur la droite BC, placées successivement.
Kepler explique ensuite que le triangle ABC peut être vu comme formé d’une infinité de triangles, tous de sommet A et de base l’une des parties de BC. Or chacun de ces triangles provient d’un des triangles isocèles formant le cercle. Comme ils ont tous même hauteur AB et des bases identiques, ils sont tous égaux en aire, et de même aire que chacun des triangles isocèles constituant le cercle. Et donc, poursuit Kepler,
Le triangle ABC égalera tous les secteurs du cercle, et donc sera de même aire que le cercle, qui consiste en tous. Cela revient à la réduction d’Archimède à l’impossible.
Kepler observe finalement que le rectangle ABHD, où H est le milieu de BC, est lui aussi de même aire que le cercle. Les deux figures suivantes reprennent les dissections du cercle suggérées par les propos de Kepler. Dans le premier cas, le cercle est décomposé en secteurs qui sont ensuite déformés tout en préservant leur aire de manière à former un « triangle » de même aire que le cercle. Il s’agit d’un « triangle festonné », sa base étant formée d’une succession d’arcs définissant les secteurs.7 Mais on peut voir ces bosses comme s’aplanissant lorsque les arcs deviennent infiniment petits, de manière à former un véritable triangle.
Dans l’autre cas, les secteurs formant le cercle sont plutôt assemblés en un « quadrilatère festonné ». On aurait un rectangle en passant à une vision infinitésimale.
Coup d’œil dans un super-microscope
Kepler, selon ses propres dires, considère donc chaque point du cercle comme la base d’un triangle isocèle. On pourrait rendre cette idée en imaginant un « microscope infinitésimal » dont le grossissement infini permettrait de voir les segments infiniment petits formant le cercle. En faisant un « super-zoom » sur un point du cercle, on y voit la base d’un petit triangle isocèle dont le sommet est le centre du cercle — situé infiniment loin à cette échelle infinitésimale. De plus, la hauteur h du triangle est, à l’œil nu, le rayon r du cercle, puisque la base est infiniment courte. L’aire du cercle, comme l’observe Kepler, devient donc le demi-produit du rayon par la somme de toutes les bases (c’est-à-dire par la circonférence).
Et si on passait à la sphère?
Mais Kepler n’en reste pas là. Il s’intéresse ensuite aux mesures de divers corps solides, reprenant nombre de résultats présentés par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre.
S’agissant du volume de la sphère, voici ce qu’écrit Kepler, toujours dans sa Nouvelle stéréométrie:
En effet par analogie avec ce qui a été dit au théorème II [en lien avec l’aire du cercle], le corps de la sphère contient en soi comme une infinité de cônes allant avec la sphère par les sommets dans le centre, par les bases dont les points se tenant sur la surface entretiennent la succession.
Autrement dit, Kepler voit la sphère comme si elle était faite d’une infinité de cônes, chacun de base très petite (infinitésimale) et s’appuyant sur la surface, et ayant tous leur sommet au centre de la sphère.
« Ce ne sont que festons, ce ne sont qu’astragales. »8
Revenons aux figures festonnées que nous venons d’introduire pour accompagner l’argument de Kepler sur l’aire du cercle. Jusque dans quelle mesure est-il raisonnable d’accepter qu’en considérant des secteurs de cercle de plus en plus étroits (éventuellement infiniment étroits), on obtiendra des figures lisses, sans bosse, se comportant comme il se doit? Dit autrement, pourquoi sommes-nous confiants que le parallélogramme festonné se transformera tout bonnement en un beau rectangle?
Ces questions sont loin d’être banales et on peut facilement tomber sur des situations où les figures géométriques auraient « à la limite » un comportement un brin étonnant, voire vraiment troublant. Un tel phénomène est examiné dans la Section problèmes. Voir aussi le texte « Preuves et certitudes » de Jean-Paul Delahaye (Accromath, vol. 3, hiver-printemps 2008, pp. 22-25), et notamment l’encadré « Vérification des preuves » (p. 24), où l’auteur « démontre » que 2 = 2 . Or, la fausse preuve alors utilisée repose sur une figure dont la nature paraît a priori ressembler comme deux gouttes d’eau à celle du parallélogramme festonné ci-contre. Plutôt gênant…
Il n’est pas facile de mettre de l’ordre dans de tels dilemmes. De fait, il a fallu un long moment avant que les mathématiciens n’apprennent à manipuler correctement le délicat concept de « passage à la limite ». Cette notion joue d’ailleurs aujourd’hui un rôle central dans de larges pans des mathématiques post-secondaires.
Le volume de la sphère est donc la somme de tous les volumes de ces cônes. Or, on peut imaginer ceux-ci être « déployés » pour former une sorte de tapis hérissé, les bases des cônes constituant le « dessous » du tapis et les sommets des cônes devenant autant de pointes.
La surface du tapis est bien sûr de même grandeur que la surface de la sphère, et la hauteur de chaque cône est le rayon de la sphère. Comme chaque cône a pour volume le tiers du produit de sa base par sa hauteur (voir encadré Le volume du cône), on en conclut que le volume V de la sphère est donné par
\[V=\frac{1}{3}rS,\]
où r est le rayon de la sphère et S sa surface. Dit autrement, c’est comme si tous les cônes formant ce tapis étaient transformés, le volume de chacun demeurant invariant, en un seul cône dont la base a la même aire que la surface de la sphère (c’est-à-dire l’ensemble des bases de tous les petits cônes) et dont la hauteur est le rayon de la sphère.
On aura noté ici, dans ce contexte 3D, la parfaite analogie avec l’aire du cercle en 2D. Il s’agit là d’une analogie qu’Archimède a lui-même observée — de manière tout à fait audacieuse, il faut le dire. Dans son fameux traité La méthode, il offre en effet le commentaire suivant en lien avec des résultats qu’il vient d’établir concernant le volume d’une sphère en rapport avec un certain cône, d’une part, et ce même volume exprimé selon le volume d’un cylindre circonscrit, de l’autre:
« J’avais eu l’intuition que, puisque tout cercle équivaut au triangle dont la base est égale à la circonférence du cercle et la hauteur égale au rayon, toute sphère équivaut au cône dont la base est équivalente à la surface de la sphère, et dont la hauteur est égale à son rayon. »
Archimède, La méthode.9
(Ce commentaire est examiné plus en détail dans la Section problèmes.) On notera au passage que le traité La méthode, longtemps perdu, n’était pas connu à l’époque de Kepler, n’ayant été redécouvert qu’au début du 20e siècle. La vision que propose l’astronome allemand de la sphère comme étant constituée d’une infinité de petits cônes est donc a priori indépendante de celle du Syracusain.
Si d’aventure on est en possession par surcroît d’une formule du type \(S = 4\pi r^2\) pour la surface de la sphère (résultat démontré par Archimède), on en tire immédiatement la relation bien connue pour son volume exprimé en fonction du rayon:
\[V=\frac{4}{3} \pi r^3.\]
Le volume du cône
Le fait que le volume de tout cône soit égal au tiers du volume du cylindre ayant même base et même hauteur était tenu pour bien connu par Archimède. Ainsi ne fait-il que le mentionner brièvement dans la préface de La quadrature de la parabole, l’attribuant aux géomètres l’ayant précédé. Dans la préface du traité De la sphère et du cylindre, il parle cette fois explicitement d’Eudoxe, et il devient encore plus précis dans La méthode, lorsqu’il étudie le volume de la sphère (proposition 2), renvoyant aux Éléments d’Euclide. Le volume du cône fait en effet l’objet de la proposition 10 du Livre XII des Éléments. Sans surprise, la démonstration donnée par Euclide repose sur l’expression du volume d’une pyramide en fonction d’un prisme la contenant (Éléments, proposition XII.7).
Kepler se penche sur ce résultat au théorème 4 de sa Nouvelle stéréométrie, théorème portant sur le volume tant de la pyramide que du cône. Le cas de la pyramide, qui repose sur une dissection géométrique directe du prisme la contenant, sert de point d’appui pour le cône, Kepler argumentant à nouveau selon un point de vue infinitésimal:
En effet analogiquement la même démonstration peut être appliquée, si tu examines attentivement que le cercle qui est la base du cylindre et du cône est divisé depuis le centre en un nombre infini de triangles sur lesquels sont placés au-dessus tout autant de prismes et de parties du cône.
Chaque triangle infinitésimal formant le cercle définissant le cylindre est donc vu comme base à la fois d’un prisme (triangulaire infinitésimal) constituant un fragment du cylindre, ainsi que d’une pyramide représentant une partie du cône, d’où le rapport 1 à 3 pour les volumes du cône et du cylindre.
© Posner Memorial Collection
Causons rigueur
La vision du cercle que propose Kepler revient à le considérer comme un « polygone avec une infinité de côtés ». Si séduisante que puisse être cette approche, s’agit-il pour autant d’une démarche rigoureuse? Une telle vision repose en effet sur l’intuition de longueur « infiniment courte »,10 et s’il n’est pas trop difficile de se figurer un segment de droite à la fois fini et très petit (par exemple de longueur 10–777 m), qu’en est-il d’un segment « vraiment infiniment petit »?
Tout repose, ultimement, sur la conception que nous adoptons d’une droite et des points qui la composent. Archimède, à cet égard, rejetait l’existence de segments infiniment petits (voir encadré La propriété d’Archimède).
Ses exigences de rigueur lui interdisaient en effet de faire intervenir dans ses raisonnements des objets mathématiques de nature aussi vague, leur substituant plutôt la célèbre technique de double preuve par contradiction pour établir l’égalité de deux quantités.11
Pendant des siècles, le consensus général parmi les mathématiciens voulait qu’une longueur infinitésimale ne saurait exister en tant que telle. Un tel objet pouvait relever d’une vue de l’esprit sans doute inspirante à maints égards, mais ce n’était qu’une façon de parler (pour reprendre les mots de Gauss à propos du concept d’infini). Cette question a soulevé des difficultés notoires au fil des âges, notamment lors de la création du calcul différentiel et intégral au 17e siècle. Elle n’a vraiment été réglée, mathématiquement parlant, qu’au cours des années 1960 dans le cadre de l’analyse non standard. Tout naturellement, dans un tel contexte, le cercle devient un polygone avec une infinité de côtés infinitésimaux.
L’héritage de Kepler
Kepler n’était pas dupe: tout en étant clairement fier de ses intuitions basées sur l’infiniment petit, il était conscient que celles-ci n’étaient pas aussi solidement étayées que les raisonnements d’Archimède. Mais la « subtilité » de la démarche archimédienne fait en sorte que les analogies que Kepler propose sont à ses propres yeux utiles et pertinentes.
Il n’y a aucun doute que l’approche de Kepler a exercé une influence sur ses successeurs, notamment sur Bonaventura Cavalieri (1598- 1647) qui, quelques années après la publication de la Nouvelle stéréométrie de Kepler, se lance dans l’élaboration de sa méthode des indivisibles, publiée en 1635. La route était ainsi tracée vers le développement prochain du calcul différentiel et intégral.
La propriété d’Archimède
La vision usuelle d’une droite repose sur l’idée qu’étant donnés deux de ses segments, on peut reproduire le plus court à répétition (un nombre fini de fois, il va sans dire) de manière à surpasser le plus grand. Autrement dit, pour des longueurs a et b avec a < b, il existe toujours un nombre naturel n tel que na > b. Ce principe, maintenant appelé propriété d’Archimède, est introduit au postulat 5 du traité De la sphère et du cylindre du Syracusain. Les nombres réels représentent un exemple fondamental d’ensemble archimédien: pour tout réel positif r, si petit soit-il, on peut trouver un naturel n tel que, disons, nr > 1.
Un segment « infiniment petit », plus court que toute longueur « réelle », serait de longueur inférieure à 1/n, pour tout naturel n. Un tel segment, moindre que tout fragment déterminé par deux points distincts de la droite numérique réelle, ne correspondrait pas à un morceau de cette droite. En acceptant son postulat, Archimède bannit donc le concept d’infiniment petit du cadre géométrique où il travaille — du moins officiellement. Mais qui sait si une vision infinitésimale n’aurait pas alimenté ses réflexions intimes…?
Le jaugeur de vin
Jaugeur de vin (wijnroeier en néerlandais)
La profession de jaugeur de vin était autrefois vue comme fort importante en Europe, notamment en raison des taxes perçues par les autorités sur divers produits de consommation liquide, tels le vin, la bière ou les huiles. Notons à cet égard que le mot tonnage (qui signifie la capacité de transport d’un navire de commerce) désigne à l’origine, vers 1300, un droit payé sur le vin en tonneau. On trouve mention, à cette même époque, de l’appellation jaugeur de vin dans des documents concernant la ville de Paris. En raison de l’absence de normes quant aux dimensions des tonneaux, l’évaluation de leur contenance était souvent difficile et se faisait à l’aide de méthodes approximatives. L’ouvrage de Kepler a contribué à rendre plus précises certaines des techniques de jaugeage des tonneaux de vin.
Tiré du Manuale Arithmeticae et Geometrice Practicae d’Adriaan Metius (Amsterdam, 1633)
Pour en s\(\alpha\)voir plus!
- Les citations de Kepler sont tirées principalement de
KÉPLER, Jean, Nouvelle stéréométrie des tonneaux. (Traduction de Jean PEYROUX) Paris, Librairie A. Blanchard, 1993.
Elles ont parfois été légèrement modifiées en s’inspirant de l’extrait de la Nova stereometria doliorum vinariorum paru en anglais dans
STRUIK, Dirk J., dir., A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Princeton University Press, 1986.
La version originale en latin, datant de 1615, est accessible en ligne sur le site de la Posner Memorial Collection de la bibliothèque de l’Université Carnegie Mellon, à l’adresse http://posner.library.cmu.edu/Posner/. C’est de cette version que sont tirées les figures accompagnant ici les propos de Kepler (pp. 33 et 36). - Les raisonnements infinitésimaux « à la Kepler » font l’objet de commentaires dans un texte portant sur l’analyse non standard et paru dans
DAVIS, Philip J. et HERSH, Reuben, L’univers mathématique. Paris, Gauthier-Villars, 1985.
La validité de tels raisonnements est abordée selon une perspective pédagogique fort intéressante dans BOILEAU, André et GARANÇON, Maurice, L’aire: une notion plus riche qu’il n’y paraît. Envol 104 (1998) pp. 37-44. - La notion de « microscope infinitésimal » est un stratagème pédagogique utilisé par H. Jerome KEISLER dans l’approche infinitésimale qu’il propose dans son livre Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (3e édition). Dover, 2012.
Ce livre est également téléchargeable gratuitement en ligne via le site de son auteur: http://www.math.wisc.edu/~keisler/. - Les figures accompagnant l’encadré sur la profession de jaugeur de vin sont tirées de
http://leeuwenhoek.64ksoftware.com/content/how-be-wine-gauger
Cette page fait partie d’un site entièrement consacré au savant et commerçant néerlandais Antoni van Leeuwenkoek (1632-1723), célèbre entre autres pour ses travaux sur le microscope. Il fut nommé en 1679 jaugeur de vin de la ville de Delft, poste qu’il occupa jusqu’à la fin de ses jours et qui apparemment lui laissait de nombreux temps libres pour ses travaux scientifiques.
Le lecteur intéressé par le jaugeage du vin trouvera plus de renseignements dans l’article suivant: MESKENS, Ad, « Wine gauging in the late 16th– and 17th-century Antwerp ». Historia Mathematica 21 (1994) 121-147.
- Voir les deux textes « Regard archimédien sur le cercle » de Marie-France Dallaire et Bernard R. Hodgson dans Accromath (vol. 7, été-automne 2012, pp. 24-29 et vol. 8, hiver printemps 2013, pp. 32-37). ↩
- Voir à ce sujet les commentaires aux pp. 35-36 dans Accromath, vol. 8, hiver-printemps 2013. ↩
- Voir, en lien avec ce dernier sujet, le texte « Savez-vous empiler des oranges? » par André Ross, Accromath, vol. 3, hiver-printemps 2008, pp. 20-21. On y trouve également un encadré portant sur Kepler. ↩
- Du grec stereos, solide, et metron, mesure. La stéréométrie porte donc sur la mesure des corps solides. ↩
- Les sources dont sont tirées les citations de Kepler sont indiquées dans la section Pour en savoir plus!. ↩
- À propos de cette proposition 2, voir la Section problèmes dans Accromath, vol. 8, hiver-printemps 2013. ↩
- Le mot feston est à l’origine un terme d’architecture désignant une guirlande de fleurs et de feuilles retombant en forme d’arc. Aussi utilisé en broderie (col « à festons »), il renvoie plus généralement à une suite d’arcs accolés. ↩
- Nicolas Boileau (1636-1711), L’Art poétique, Chant premier, v. 56. ↩
- Archimède, La méthode. Voir Paul Ver Eecke, Les œuvres complètes d’Archimède, tome II (p. 488). Liège, Vaillant-Carmanne, 1960. ↩
- Un « polygone » formé d’une infinité de côtés de longueur très petite, mais finie, aurait en effet un périmètre infini, ce qui ne convient évidemment pas pour rendre le cercle. ↩
- Voir à ce propos Accromath, vol. 8, hiver-printemps 2013, p. 35. ↩
