Il s’agit d’un paradoxe dû au mathématicien prestidigitateur P. Diaconis.
On vous propose le jeu suivant dénommé La prochaine est rouge :
- on bat les cartes d’un paquet de 32 cartes;
- le meneur de jeu retourne les cartes une à une;
- à un moment, librement choisi par vous, vous arrêtez le meneur de jeu et vous annoncez : « la prochaine carte est rouge »;
- le meneur retourne la carte, si vous avez raison vous avez gagné, sinon vous avez perdu.
Vous pouvez utiliser la méthode que vous voulez et, par exemple, attendre que presque toutes les cartes soient passées. Vous pouvez même attendre qu’il ne reste plus qu’une seule carte.
Notez bien cependant que vous ne pouvez pas choisir entre rouge et noire (sinon, en attendant qu’il ne reste qu’une carte, vous gagneriez à chaque fois) : vous êtes obligé de parier sur rouge et lorsqu’il ne reste qu’une seule carte vous êtes donc obligé de dire « la prochaine carte est rouge ». La stratégie évidente consistant à attendre la dernière carte vous garantit de gagner une fois sur deux au moins (ce qui n’est pas mal). La stratégie consistant à parier dès la première carte donne aussi une chance sur deux de gagner. Il ne faut donc ni se précipiter, ni trop attendre pour avoir une probabilité de gagner supérieure à 1/2. Puisqu’on voit défiler les cartes (elles restent visibles une fois retournées), et qu’on est donc bien informé de ce qu’il reste dans le paquet des cartes à venir, il semble à peu près évident qu’il doit exister une méthode pour gagner plus d’une fois sur deux. Le paradoxe est que ce n’est pas le cas : quelle que soit la méthode que vous adopterez, vous ne gagnerez jamais plus d’une fois sur deux (ni d’ailleurs moins d’une fois sur deux). Vous en doutez? Proposez donc une méthode et testez-là . Vous constaterez sans doute qu’elle ne vous permet pas de gagner plus d’une fois sur deux. Essayez de démontrer par un raisonnement mathématique rigoureux que c’est bien ainsi, et envoyez-moi votre raisonnement.
Si vraiment vous découvrez une stratégie qui vous donne mieux qu’une chance sur deux de gagner, je suis prêt à jouer avec vous.
Il faut que vous soyez sûr de vous car nous jouerons à 2 contre 3 : à chaque partie, vous engagerez 3 euros et moi 2.
Solution
