Rappel du paradoxe précédent
Supposons une infinité de personnages (appelés Dupont-0, Dupont-1,…, Dupont-n,…) placés en ligne les uns derrière les autres :
- Dupont-0 est placé en tête de la rangée infinie et n’a personne devant lui,
- Dupont-1 est placé juste derrière Dupont-0,
- Dupont-2 est placé juste derrière Dupont-1, etc.
Chaque Dupont prononce la phrase : « au moins une personne derrière moi ment ». Qui dit vrai? qui ment?
D’après le sens des phrases prononcées :
- derrière tout Dupont qui dit vrai, il y a au moins un Dupont qui ment;
- si un Dupont ment alors tous les Dupont derrière lui disent la vérité.
Si on désigne par M les Dupont qui mentent et par H ceux qui sont honnêtes et donc ne mentent pas, les deux règles précédentes se traduisent en :
a) derrière tout H, il y a au moins un M
b) derrière un M, il n’y a que des H.
Or il est impossible de concevoir une suite infinie de M et de H qui vérifie les règles a) et b), car tout M doit être suivi uniquement de H, ce qui ne se peut pas puisque tout H doit être suivi d’au moins un M. La situation est contradictoire. Pourquoi?
Solution
Comme dans le cas du paradoxe du menteur (celui qui dit « je mens » ne dit pas vrai – car cela signifierait qu’il ment -, ni ne ment – car cela signifierait qu’il dit vrai), aucune solution pleinement satisfaisante n’a aujourd’hui été proposée.
Pour le paradoxe du menteur, on se contente souvent de le résoudre en affirmant que, si on dit de certaines phrases qu’elles sont vraies ou fausses, il faut s’interdire d’inclure dans les phrases visées la phrase qu’on prononce. Plus généralement lorsque plusieurs phrases sont concernées parlant de vérité et de fausseté (comme dans le paradoxe de Pierre et Paul : Pierre dit : « Ce que dit Paul est faux »et Paul dit : « Ce que dit Pierre est vrai ») il faut s’interdire les cycles (si Pierre parle de la phrase de Paul alors Paul ne doit pas parler de celle de Pierre).
La solution de l’interdiction des cycles se généralise et conduit à une solution qui résout (de manière moyennement satisfaisante) le paradoxe du menteur, celui de Pierre et Paul et celui des Dupont. La généralisation est :
– lorsqu’on considère des phrases parlant de vérité et de fausseté, il faut s’interdire les cycles et s’interdire les situations infinies.
Si vous disposez d’une meilleure solution, signalez-le moi.
