Effet de serre

1. On procède de la même manière que dans le cas du modèle d’une planète avec une seule couche de GES. On commence en calculant l’équilibre énergétique à l’interface entre l’espace et la couche de GES \((1-a)E_s = H.\) Étant donné que seule la fraction \((1-a)\) de la chaleur du Soleil est absorbée à la surface de la Terre, l’équation (7) est remplacée par
   \[ (1-a)E_s + H = E_p. \]
   En substituant notre première équation dans la deuxième et en utilisant la loi de Stefan-Boltzmann pour \(E_s\) et \(E_p\) on démontre la formule recherchée.
2. Un calcul simple montre que la température de la Terre avec une couche de GES serait de \(297\text{ K},\) c’est-à-dire d’environ \(24\,^\circ\text{C}.\)

L’effet papillon

3. 1. 
   2. Si \(x=(0,\!a_1a_2a_3\ldots)_2,\) alors \(2x = (a_1,\!a_2a_3\ldots)_2.\)
      Si \(a_1=0,\) on a fini.
      Si \(a_1=1,\) alors \(f(x) = 2x – 1 = (0,\!a_2a_3\ldots)_2.\)
   3. Par définition,
      \begin{align*}
      (0,\!111\ldots)_2 &= \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= 1
      \end{align*}
      en utilisant que \( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}r^i = \frac{1}{1-r} \text{ si } r \in ]-1,1[.\)De même, \( (0,\!011\ldots)_2 = \displaystyle\frac{1}{2}(0,\!11\ldots)_2 = \frac{1}{2},\) etc.
   4. On note un développement infini périodique en base \(2\) comme suit \( ( 0,\! \overline{a_1a_2\ldots a_n})_2.\) Ainsi, \( (0,\! 11\ldots)_2 = (0,\!\overline{1})_2.\) Prenons, par exemple \(x_0\) dont le développement en base \(2\) est de la forme \(x_0 = (0,\overline{\underbrace{\! 0\ldots0}_{n-1}1}).\) Alors, \(\underbrace{f \circ f \circ \dotsb \circ f}_{n}(x_0) = x_0\) et \(\underbrace{f \circ f \circ \dotsb \circ f}_{k}(x_0) \neq x_0\) si \(1\leq k \leq n-1.\)Donc, \(\{x_0, \dotsc, x_{n-1}\}\) est une orbite de période \(n.\)
   5. Soit \(x=(0,\!a_1a_2\ldots)_2\) et \(y=(0,\!b_1b_2\ldots)_2,\) tels que \( a_i=b_i\) pour \(i\leq n.\) Alors \(x-y = \displaystyle\sum_{i=n+1}^\infty \frac{a_i-b_i}{2^i}\) et
      \begin{align*}
      |x-y| &\leq \sum_{i=n+1}^\infty \frac{|a_i-b_i|}{2^i} \\
      &\leq \sum_{i=n+1}^\infty \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2^{n+1}}2 = \frac{1}{2^n},
      \end{align*}
      en remarquant que \( a_i – b_i \in \{ -1,0,1\}\)
   6. On énumère toutes les suites finies de \(0\) et de \(1,\) soit \(0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111,\) etc. et on forme \(x_0\) en les mettant bout à bout. Soit \( y = (0,\!b_1b_2\ldots)_2 \in [0,1].\)Pour que \(x_m\) vérifie \(|x_m-y_0|\leq 1/2^n,\) il faut que \(x_m = (0,\!b_1b_2\ldots b_n\ldots)_2.\) Par construction de \(x_0,\) on sait que la suite \(b_1b_2\ldots b_n\) apparaît ans le développement en base 2 de \(x_0.\) Supposons que cela corresponde aux chiffres \(a_ma_{m+1}\ldots a_{m+n-1}\) du développement, Alors,
      \begin{align*}
      x_m &= (0,\! a_ma_{m+1}\ldots a_{m+n-1}\ldots)_2 \\
      &= (0,\!b_1b_2\ldots b_n\ldots)_2.
      \end{align*}
   7. Prenons \(x_0 = (0,\!a_1a_2\ldots)_2\) et \(y_0 = (0,\!b_1b_2\ldots)_2\) très proches. Par exmple, si \(|x_0-y_0| \leq 1/2^n,\) alor son sait que \(a_i = b_i\) pour \(i\leq n.\) Mais on ne sait rien de \(a_i\) et \(b_i\) pour \(i>n.\) Ceux-ci peuvent être absolument quelconques. Regardons maintenant \(x_m\) et \(y_m\) pour \(m>n: x_m = (0,\! a_ma_{m+1}\ldots)_2\) et \(y_m = (0,\! b_mb_{m+1}\ldots)_2\) n’ont donc plus rien en commun!

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