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Section problèmes : Solutions au vol. 6, hiver-printemps 2011

Par Marc Laforest
Volume 6.1 - hiver-printemps 2011

Effet de serre

  1. On procède de la même manière que dans le cas du modèle d’une planète avec une seule couche de GES. On commence en calculant l’équilibre énergétique à l’interface entre l’espace et la couche de GES \((1-a)E_s = H.\) Étant donné que seule la fraction \((1-a)\) de la chaleur du Soleil est absorbée à la surface de la Terre, l’équation (7) est remplacée par
    \[ (1-a)E_s + H = E_p. \]
    En substituant notre première équation dans la deuxième et en utilisant la loi de Stefan-Boltzmann pour \(E_s\) et \(E_p\) on démontre la formule recherchée.
  2. Un calcul simple montre que la température de la Terre avec une couche de GES serait de \(297\text{ K},\) c’est-à-dire d’environ \(24\,^\circ\text{C}.\)

L’effet papillon

    1. 6.1.sol_img1
    2. Si \(x=(0,\!a_1a_2a_3\ldots)_2,\) alors \(2x = (a_1,\!a_2a_3\ldots)_2.\)
      Si \(a_1=0,\) on a fini.
      Si \(a_1=1,\) alors \(f(x) = 2x – 1 = (0,\!a_2a_3\ldots)_2.\)
    3. Par définition,
      \begin{align*}
      (0,\!111\ldots)_2 &= \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= 1
      \end{align*}
      en utilisant que \( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}r^i = \frac{1}{1-r} \text{ si } r \in ]-1,1[.\)De même, \( (0,\!011\ldots)_2 = \displaystyle\frac{1}{2}(0,\!11\ldots)_2 = \frac{1}{2},\) etc.
    4. On note un développement infini périodique en base \(2\) comme suit \( ( 0,\! \overline{a_1a_2\ldots a_n})_2.\) Ainsi, \( (0,\! 11\ldots)_2 = (0,\!\overline{1})_2.\) Prenons, par exemple \(x_0\) dont le développement en base \(2\) est de la forme \(x_0 = (0,\overline{\underbrace{\! 0\ldots0}_{n-1}1}).\) Alors, \(\underbrace{f \circ f \circ \dotsb \circ f}_{n}(x_0) = x_0\) et \(\underbrace{f \circ f \circ \dotsb \circ f}_{k}(x_0) \neq x_0\) si \(1\leq k \leq n-1.\)Donc, \(\{x_0, \dotsc, x_{n-1}\}\) est une orbite de période \(n.\)
    5. Soit \(x=(0,\!a_1a_2\ldots)_2\) et \(y=(0,\!b_1b_2\ldots)_2,\) tels que \( a_i=b_i\) pour \(i\leq n.\) Alors \(x-y = \displaystyle\sum_{i=n+1}^\infty \frac{a_i-b_i}{2^i}\) et
      \begin{align*}
      |x-y| &\leq \sum_{i=n+1}^\infty \frac{|a_i-b_i|}{2^i} \\
      &\leq \sum_{i=n+1}^\infty \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
      &= \frac{1}{2^{n+1}}2 = \frac{1}{2^n},
      \end{align*}
      en remarquant que \( a_i – b_i \in \{ -1,0,1\}\)
    6. On énumère toutes les suites finies de \(0\) et de \(1,\) soit \(0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111,\) etc. et on forme \(x_0\) en les mettant bout à bout. Soit \( y = (0,\!b_1b_2\ldots)_2 \in [0,1].\)Pour que \(x_m\) vérifie \(|x_m-y_0|\leq 1/2^n,\) il faut que \(x_m = (0,\!b_1b_2\ldots b_n\ldots)_2.\) Par construction de \(x_0,\) on sait que la suite \(b_1b_2\ldots b_n\) apparaît ans le développement en base 2 de \(x_0.\) Supposons que cela corresponde aux chiffres \(a_ma_{m+1}\ldots a_{m+n-1}\) du développement, Alors,
      \begin{align*}
      x_m &= (0,\! a_ma_{m+1}\ldots a_{m+n-1}\ldots)_2 \\
      &= (0,\!b_1b_2\ldots b_n\ldots)_2.
      \end{align*}
    7. Prenons \(x_0 = (0,\!a_1a_2\ldots)_2\) et \(y_0 = (0,\!b_1b_2\ldots)_2\) très proches. Par exmple, si \(|x_0-y_0| \leq 1/2^n,\) alor son sait que \(a_i = b_i\) pour \(i\leq n.\) Mais on ne sait rien de \(a_i\) et \(b_i\) pour \(i>n.\) Ceux-ci peuvent être absolument quelconques. Regardons maintenant \(x_m\) et \(y_m\) pour \(m>n: x_m = (0,\! a_ma_{m+1}\ldots)_2\) et \(y_m = (0,\! b_mb_{m+1}\ldots)_2\) n’ont donc plus rien en commun!

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Tags: Section problèmes

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