• Accueil
  • À propos
  • Accrom\(\alpha\)th en PDF
  • Commanditaires
  • Contact et Abonnements
  • Sites amis

Logo

Rubrique des paradoxes : Solution du paradoxe « Les deux enveloppes d’Amandine »

Par Jean-Paul Delahaye
Volume 6.1 - hiver-printemps 2011

Amandine me montre deux enveloppes fermées identiques A et B. Elle me dit que l’une contient une certaine somme en euros et que l’autre contient le double de cette somme, mais ne précise pas laquelle contient le plus. Elle m’offre de choisir une des enveloppes, son contenu sera pour moi. N’ayant pas de raison particulière de préférer l’une à l’autre, je choisis l’enveloppe A.

paradoxes.6.1_1Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi. L’enveloppe A contient une certaine somme, disons \(Y\) euros; il y a une chance sur deux pour que B contienne \(2Y\) euros, et une chance sur deux pour que B contienne \(Y/2\) euros; l’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc
\[ 2Y \times \frac{1}{2}+\frac{Y}{2}\times \frac{1}{2} = Y+\frac{Y}{4}=1,25 Y \text{ euros.} \]
Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois. L’espérance de contenu de B étant \(1,25Y\) euros, et celle de A étant bien sûr de \(Y\) euros, mon intérêt est de changer mon choix et de prendre B à la place de A. En moyenne, cela me rapportera 25 % de plus.

Est-ce bien certain? Non, c’est ridicule, car si au départ j’avais choisi B, le même raisonnement me conduirait maintenant à reporter mon choix sur A. Le raisonnement est donc faux. Mais en quoi précisément?

Solution

L’erreur provient du fait qu’on calcule en utilisant la variable \(Y\) correspondant au contenu de mon enveloppe et qu’on considère que ce \(Y\) est fixe dans les deux cas, ce qui n’est pas vrai.

Le bon raisonnement consiste à dire: il y a deux possibilités (cas 1) A contient \(X\) et B contient \(2X\) et (cas 2) A contient \(2X\) et B contient \(X\). L’espérance de contenu de l’enveloppe A est
\[ X \times \frac{1}{2} +2X \times \frac{1}{2}= \frac{X}{2}+X=1,5 X \text{ euros.} \]
L’espérance de contenu de l’enveloppe B est
\[ 2X \times \frac{1}{2} +X \times \frac{1}{2}= X+ \frac{X}{2}=1,5 X \text{ euros.} \]

paradoxes.6.1_2
L’espérance associée à B est donc la même que celle associée à A et je n’ai pas d’intérêt particulier à changer mon choix initial.

PDF

  • ● Version PDF
Partagez
  • tweet

Etiquettes : Rubrique des Paradoxes

Articles récents

  • Se rendre invisible, est-ce possible ?

    Christiane Rousseau
  • Points, droites et plans

    André Ross
  • Le jeu de Nim

    Christiane Rousseau

Sur le même sujet

  • Rubrique des paradoxes : La longueur des fleuves

    Jean-Paul Delahaye
  • Rubrique du paradoxe précédent : Des files de voitures

    Jean-Paul Delahaye
  • Rubrique des paradoxes : Le paradoxe des files de voitures

    Jean-Paul Delahaye

Volumes

  • Volume 19.1 – hiver-printemps 2024
  • Volume 19.2 – été-automne 2024
  • Volume 20.1 – hiver-printemps 2025
  • Volume 18.2 – été-automne 2023
  • Volume 18.1 – hiver-printemps 2023
  • Volume 17.2 – été-automne 2022
  • Volume 17.1 – hiver-printemps 2022
  • Journée internationale des mathématiques: Accromath multilingue
  • Volume 16.2 – été-automne 2021
  • Volume 16.1 – hiver-printemps 2021
  • Volume 15.2 – été-automne 2020
  • Thème spécial: Les mathématiques sont partout
  • Volume 15.1 – hiver-printemps 2020
  • Volume 14.2 – été-automne 2019
  • Volume 14.1 – hiver-printemps 2019
  • Volume 13.2 – été-automne 2018
  • Volume 13.1 – hiver-printemps 2018
  • Volume 12.2 – été-automne 2017
  • Volume 12.1 – hiver-printemps 2017
  • Volume 11.2 – été-automne 2016
  • Volume 11.1 – hiver-printemps 2016
  • Volume 10.2 – été-automne 2015
  • Volume 10.1 – hiver-printemps 2015
  • Volume 9.2 – été-automne 2014
  • Volume 9.1 – hiver-printemps 2014
  • Volume 8.2 – été-automne 2013
  • Volume 8.1 – hiver-printemps 2013
  • Volume 7.2 – été-automne 2012
  • Volume 7.1 – hiver-printemps 2012
  • Volume 6.2 – été-automne 2011
  • Volume 6.1 – hiver-printemps 2011
  • Volume 5.2 – été-automne 2010
  • Volume 5.1 – hiver-printemps 2010
  • Volume 4.2 – été-automne 2009
  • Volume 4.1 – hiver-printemps 2009
  • Volume 3.2 – été-automne 2008
  • Volume 3.1 – hiver-printemps 2008
  • Volume 2.2 – été-automne 2007
  • Volume 2.1 – hiver-printemps 2007
  • Volume 1 – été-automne 2006
  • Article vedette

    Auteurs

    • Michel Adès
    • Antoine Allard
    • Jean Aubin
    • Marie Beaulieu
    • Rosalie Bélanger-Rioux
    • Claude Bélisle
    • Léo Belzile
    • Marc Bergeron
    • Pierre Bernier
    • André Boileau
    • Véronique Boutet
    • Pietro-Luciano Buono
    • Jean-Philippe Burelle
    • Massimo Caccia
    • Jérôme Camiré-Bernier
    • France Caron
    • Philippe Carphin
    • Kévin Cazelles
    • Laurent Charlin
    • Pierre Chastenay
    • Noémie Chenail
    • Christian Côté
    • Jocelyn Dagenais
    • Marie-France Dallaire
    • Jean-Lou de Carufel
    • Jean-Marie De Koninck
    • Lambert De Monte
    • Jean-Paul Delahaye
    • Marc-André Desautels
    • Florin Diacu
    • Jimmy Dillies
    • Nicolas Doyon
    • Philippe Drobinski
    • Hugo Drouin-Vaillancourt
    • Louis J. Dubé
    • Thierry Duchesne
    • Matthieu Dufour
    • Stéphane Durand
    • Thomas Erneux
    • Philippe Etchécopar
    • Julien Fageot
    • Charles Fleurent
    • Serge Fontaine
    • Jérôme Fortier
    • Marlène Frigon
    • Jean-François Gagnon
    • André Garon
    • Christian Genest
    • Denis Gilbert
    • Jonathan Godin
    • Frédéric Gourdeau
    • Samuel Goyette
    • Andrew Granville
    • Jean Guérin
    • Hervé Guillard
    • Abba B. Gumel
    • James A. Hanley
    • Alain Hertz
    • Bernard R. Hodgson
    • Isabelle Jalliffier-Verne
    • Guillaume Jouvet
    • Tomasz Kaczynski
    • Patrick Labelle
    • Marc Laforest
    • Nadia Lafrenière
    • Josiane Lajoie
    • Alexis Langlois-Rémillard
    • Simon-Olivier Laperrière
    • René Laprise
    • Steffen Lauritzen
    • Denis Lavigne
    • Adrien Lessard
    • Steven Lu
    • Jean Meunier
    • Erica Moodie
    • Normand Mousseau
    • Johanna G. Nešlehová
    • Pierre-André Noël
    • Dmitry Novikov
    • Ostap Okhrin
    • Laurent Pelletier
    • Jean-François Plante
    • Serge B. Provost
    • Annie Claude Prud'Homme
    • Benoît Rittaud
    • Louis-Paul Rivest
    • Serge Robert
    • André Ross
    • Guillaume Roy-Fortin
    • Yvan Saint-Aubin
    • Maria Vittoria Salvetti
    • Charles Senécal
    • Vasilisa Shramchenko
    • Robert Smith?
    • Dylan Spicker
    • Anik Trahan
    • Shophika Vaithyanathasarma
    • William Verreault
    • Redouane Zazoun

Sujets

Accro-flashs (18) Algèbre (2) Applications (3) Applications des mathématiques (74) Changements climatiques (3) Climat (1) Construction des mathématiques (4) COVID-19 (10) Cristallographie (2) cryptographie (2) GPS (2) Gravité (2) Géométrie (12) Histoire des mathématiques (27) Imagerie (2) Infini (2) Informatique (2) Informatique théorique (3) Jeux mathématiques (2) Logique mathématique (18) Lumière (5) Mathématiques de la planète Terre (18) Mathématiques et architecture (1) Mathématiques et arts (8) Mathématiques et astronomie (6) Mathématiques et biologie (7) Mathématiques et développement durable (9) Mathématiques et littérature (9) Mathématiques et musique (1) Mathématiques et médecine (11) Mathématiques et physique (3) Mathématiques et transport (5) Modélisation (1) Nombres (4) Pavages (5) Portrait d'un mathématicien (20) Portrait d'un physicien (3) Probabilités (8) Probabilités et statistique (19) Racines (2) Rubrique des Paradoxes (71) Section problèmes (41) Théorie des groupes (1) Éditorial (38) Épidémiologie (2)
    • Instagram
    • Facebook

    © 2025 Accromath