Amandine me montre deux enveloppes fermées identiques A et B. Elle me dit que l’une contient une certaine somme en euros et que l’autre contient le double de cette somme, mais ne précise pas laquelle contient le plus. Elle m’offre de choisir une des enveloppes, son contenu sera pour moi. N’ayant pas de raison particulière de préférer l’une à l’autre, je choisis l’enveloppe A.
Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi. L’enveloppe A contient une certaine somme, disons \(Y\) euros; il y a une chance sur deux pour que B contienne \(2Y\) euros, et une chance sur deux pour que B contienne \(Y/2\) euros; l’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc
\[ 2Y \times \frac{1}{2}+\frac{Y}{2}\times \frac{1}{2} = Y+\frac{Y}{4}=1,25 Y \text{ euros.} \]
Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois. L’espérance de contenu de B étant \(1,25Y\) euros, et celle de A étant bien sûr de \(Y\) euros, mon intérêt est de changer mon choix et de prendre B à la place de A. En moyenne, cela me rapportera 25 % de plus.
Est-ce bien certain? Non, c’est ridicule, car si au départ j’avais choisi B, le même raisonnement me conduirait maintenant à reporter mon choix sur A. Le raisonnement est donc faux. Mais en quoi précisément?
Solution
L’erreur provient du fait qu’on calcule en utilisant la variable \(Y\) correspondant au contenu de mon enveloppe et qu’on considère que ce \(Y\) est fixe dans les deux cas, ce qui n’est pas vrai.
Le bon raisonnement consiste à dire: il y a deux possibilités (cas 1) A contient \(X\) et B contient \(2X\) et (cas 2) A contient \(2X\) et B contient \(X\). L’espérance de contenu de l’enveloppe A est
\[ X \times \frac{1}{2} +2X \times \frac{1}{2}= \frac{X}{2}+X=1,5 X \text{ euros.} \]
L’espérance de contenu de l’enveloppe B est
\[ 2X \times \frac{1}{2} +X \times \frac{1}{2}= X+ \frac{X}{2}=1,5 X \text{ euros.} \]
L’espérance associée à B est donc la même que celle associée à A et je n’ai pas d’intérêt particulier à changer mon choix initial.
