Rappel du paradoxe précédent
La fonction \(x \mapsto x^3\) est définie pour tout nombre réel, elle est continue et dérivable pour tout nombre réel. En calculant la dérivée par la formule habituelle, \( (x^n)’=nx^{n-1}, \) on obtient :
\[ (x^3)’=3x^2 \]
On calcule également la dérivée par le raisonnement suivant :
Pour tout entier \(c \geq 2,\) on écrit :
\[x^3=x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2 \]
La somme à droite comporte \(x\) fois le terme \(x^2\).
On dérive alors de chaque côté de l’égalité en utilisant que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
\[(x^3)’=(x^2)’+(x^2)’+(x^2)’+ \cdots + (x^2)’. \]
On applique la formule de dérivation \( (x^n)’=nx^{n-1}\) rappelée plus haut et qui donne \( (x^2)’=2x. \) On obtient donc
\[ (x^3)’=2x+2x+2x+\cdots 2x = 2x^2, \]
car le terme \(2x\) apparaît \(x\) fois. On doit donc conclure que :
Pour tout entier \( x \geq 2, \) nous avons donc \((x^3)’=3x^2\) par la formule usuelle et \((x^3)’=2x^2\) par le raisonnement détaillé. Donc, pour tout entier \( x \geq 2, \),
\[ 3x^2=2x^2 \]
On peut simplifier par \(x^2\) puisque \(x\) est non nul et on obtient : \(3=2\)
Où est l’erreur?
Solution
Le second calcul suppose que x est un entier (sinon on ne pourrait pas écrire \(x’3=x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2 \) ). Appelons \(n\) l’entier fixé auquel on s’intéresse. Les fonctions :
\[ x \mapsto x^3 \text{ et } x \mapsto x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2\)
ont effectivement la même valeur au point \( x=n \) et cette valeur est \(n^3\).
Ces deux fonctions sont dérivables pour tout nombre réel \(x\). Cependant, autour de la valeur de \(n\), ces deux fonctions n’ont pas les mêmes valeurs car :
\begin{align*} (n+y)^3 &\neq (n+y)^2+(n+y)^2+(n+y)^2+\cdots +(n+y)^2 \\ &= n(n+y)^2 \end{align*}
Puisque les deux fonctions sont différentes, il n’y a aucune surprise à ce que leurs dérivées soient différentes.
Le point précis où se produit l’erreur est lorsqu’on écrit « on dérive de chaque côté », car l’équation
\[x^3=x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2 \]
désigne une égalité valable entre deux fonctions différentes en un point précis et non deux fonctions égales sur tout leur ensemble de définition. L’erreur est en fait la même que celle que l’on commettrait en disant :
\begin{align*} x&=x^2 &\text{ pour } x=0, &\text{ donc } : \\ x’&=(x^2)’ &\text{ en } x=0, &\text{ donc } 1=0. \end{align*}
