Amandine me montre deux enveloppes fermées identiques A et B. Elle me dit que l’une contient une certaine somme en euros et que l’autre contient le double de cette somme. Elle ne me dit pas quelle est celle des deux enveloppes qui contient le plus. Comme c’est mon anniversaire, elle m’offre de choisir une des enveloppes et me dit que son contenu sera pour moi.
N’ayant pas de raison particulière de préférer l’une ou l’autre, je choisis d’abord l’enveloppe A. Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi.
- L’enveloppe A contient une certaine somme, disons \(Y\) euros (j’ignore bien sûr quelle est cette somme).
- Il y a une chance sur deux pour que B contienne \(2Y\), et une chance sur deux pour que B contienne \(Y/2\) euros, car ayant choisi A au hasard, il y a autant de chances que A contienne la plus petite somme (dans ce cas B contient \(2Y\) euros), ou que A contienne la plus grande somme (dans ce cas B contient \(Y/2\) euros).
- L’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc :
\[2Y \times \frac{1}{2}+ \frac{Y}{2} \times \frac{1}{2} = Y+\frac{Y}{4} = \frac{5}{4}Y \]
Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans l’enveloppe B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois.
L’espérance de contenu de B étant \(1,25Y\) euros, et celle de A étant bien sûr de \(Y\) euros, mon intérêt est de changer mon premier choix et de prendre B à la place de A. En moyenne, cela me rapportera 25 % de plus.
Est-ce bien certain?
Non. Il y a quelque chose de ridicule dans cette histoire car, si au départ j’avais choisi B, le même raisonnement me conduirait maintenant à reporter mon choix sur A. Le raisonnement est donc faux. Mais, en quoi précisément est-il faux?
