Vous-êtes vous déjà demandé pourquoi les bouches d’égout sont rondes? Imaginez une bouche d’égout carrée, ou encore en forme de triangle équilatéral. Si l’employé manipule le couvercle sans soin il peut, par inadvertance, l’échapper dans le trou, ce qu’il ne peut pas faire avec une bouche d’égout ronde. Mais la forme ronde n’est pas la seule qui possède cette propriété. Nous allons explorer une autre famille de formes avec des propriétés similaires, et dont les applications ne se limitent pas aux bouches d’égout.
La première de ces formes est le triangle de Reuleaux.
On part avec un triangle équilatéral de côté \(R.\) À partir de chaque sommet on trace un arc de cercle de rayon \(R,\) joignant les deux autres sommets. Ces trois arcs de cercle constituent la frontière du triangle de Reuleaux. En chaque point \(P\) de cette frontière, on peut calculer la distance maximum entre \(P\) et un autre point de la frontière, appelée la largeur de la forme en \(P\) : sur la figure cette largeur est atteinte le long du segment \(AP.\) On dira que \(AP\) est un diamètre de la forme. Pour le triangle de Reuleaux, la largeur est constante (indépendante de \(P \! \)) et vaut \(R.\) En effet, la distance entre un point d’un arc de cercle et le sommet opposé est \(R,\) et les distances aux autres points frontière sont inférieures.
C’est pour cela qu’on dit que le triangle de Reuleaux a une largeur constante.
Mais cela suffit-il à assurer que le triangle de Reuleaux, lorsqu’on le manipule dans l’espace, ne puisse passer au travers d’un trou horizontal d’un rayon \(r < R \! \)?
Nous allons voir que oui. Pour cela, on va regarder quels sont tous les diamètres et montrer que, quelle que soit la position du triangle de Reuleaux, l’un d’eux est horizontal.
On a trois familles de diamètres, chacune étant associée à un sommet.
Regardons les différentes pentes de ces diamètres : on a couvert toutes les pentes possibles! Si notre triangle de Reuleaux est horizontal, on sait qu’il ne peut pas passer dans un trou circulaire de diamètre inférieur. Si maintenant le triangle est dans un plan oblique ou vertical, il nous suffit de voir qu’un de ses diamètres est horizontal. Mais le plan horizontal coupe le plan du triangle de Reuleaux le long d’une droite \(D\) (qui est donc horizontale) et on vient de montrer que le triangle de Reuleaux possède un diamètre parallèle à la direction de \(D.\)
Cette preuve simple a l’avantage de se généraliser, presque mot pour mot, à des « polygones » de largeur constante. Ceux-ci sont construits de la même manière à partir d’un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés.
Quelques mots maintenant sur les applications.
- Dans le passé, la compagnie Mazda a déjà utilisé cette forme dans ses moteurs rotatifs wankel. Ce moteur équipe encore la Mazda RX-8. Il est maintenant appelé moteur Renesis.
- Percer des trous carrés est un défi. Si l’on construit une mèche en forme de triangle de Reuleaux et qu’on la force à tourner dans un carré de côté \(R,\) la mèche balaiera la quasi-totalité de la figure ci-dessous.
- Plusieurs pièces de monnaie, notamment au Royaume Uni, ont la forme de polygones de Reuleaux : le diamètre constant est un avantage dans les machines distributrices.
Franz Reuleaux (1829-1905)
Reuleaux est un ingénieur allemand, spécialisé dans l’analyse et la conception des mécanismes. Sa carrière a été partagée entre l’enseignement et la recherche. En 1856, il a d’abord occupé la chaire de mécanique appliquée du Polytechnikum de Zürich. Son ouvrage de 1861, Le Constructeur, a fait école en présentant l’étude des mécanismes comme une science à part entière. À compter de 1864, Franz Reuleaux a poursuivi sa carrière au Gewerbeinstitut (École Industrielle) de Berlin, dont il fut recteur en 1890.
Pour en savoir plus!
Le livre « Mathematical Treks », d’Ivar Peterson.
