• Accueil
  • À propos
  • Accrom\(\alpha\)th en PDF
  • Commanditaires
  • Contact
  • Contributions des lecteurs
  • Sites amis

Logo

Rubrique des paradoxes : Trois pesées suffisent

Par Jean-Paul Delahaye
Volume 4.1 - hiver-printemps 2009

Voici un joli raisonnement par récurrence dû à Keith Austin conduisant à une étrange conclusion.

Nous allons démontrer que lorsque \(n\) pièces de monnaies \((n\geq 2)\) d’apparences identiques sont données, l’une plus légère que les autres, alors trois pesées au plus avec une balance àdeux plateaux (permettant de comparer des masses sans les mesurer) suffisent pour l’identification de la pièce la plus légère..

Lorsque \(n = 2,\) on procède de la manière suivante. On prend les deux pièces indiscernables, on en place une sur le plateau de gauche et une autre sur le plateau de droite de la balance. L’équilibre ne se fait pas car l’une des pièces est plus légère par hypothèse. On peut la repérer, c’est celle qui se trouve sur le plateau qui monte. Dans ce cas simple, une seule pesée a suffi.

Soit maintenant \(n \geq 2.\) Supposons, comme hypothèse de récurrence, que nous connaissons une procédure utilisant au plus trois pesées pour \(n\) pièces, toutes de même masse, sauf une qui est plus légère. Montrons comment obtenir une procédure pour \(n + 1\) pièces.

Considérons \(n+1\) pièces de même masse, sauf une qui est plus légère que les autres. Nous mettons à part l’une des \(n+1\) pièces, et nous appliquons la procédure donnée par l’hypothèse de récurrence aux \(n\) pièces restantes.

Si la pièce la plus légère est dans les \(n\) pièces retenues, la procédure permet de la trouver. On a donc identifié la pièce la plus légère et il a suffi de trois pesées.

Si la procédure ne permet pas de trouver une pièce plus légère que les autres parmi celles retenues, c’est que la plus légère est celle que nous avons mise de côté. On trouve à nouveau la pièce la plus légère et il a encore suffi de trois pesées.

Donc, en au plus trois pesées, nous avons réussi à connaître la pièce la plus légère parmi les \(n+1\) pièces données.

Le raisonnement par récurrence fonctionne donc bien et, en conséquence, pour tout entier \(n \geq 2,\) il existe une procédure en trois pesées permettant d’identifier une pièce plus légère que les autres dans un ensemble de \(n\) pièces.

Croyez-vous vraiment qu’avec un million de pièces, en trois pesées vous pouvez repérer la plus légère? N’est-il pas étrange que le raisonnement présenté semble s’adapter et arriver à la même conclusion avec une seule pesée au lieu de trois? Il y a donc une erreur. Laquelle?

Solution

PDF

  • ● Version PDF
Partagez
  • tweet

Tags: Rubrique des Paradoxes

Articles récents

  • Le mouvement brownien : Du pollen de Brown à l’origine de la finance moderne

    Michel Adès, Matthieu Dufour, Steven Lu et Serge Provost
  • Le problème des \(N\) corps

    Christiane Rousseau
  • Comprendre la structure des nombres premiers

    Andrew Granville

Sur le même sujet

  • Rubrique des paradoxes : Le dé le plus fort

    Jean-Paul Delahaye
  • Solution du paradoxe précédent : Le déménagement miraculeux

    Jean-Paul Delahaye
  • Rubrique des paradoxes : Le déménagement miraculeux

    Jean-Paul Delahaye

Volumes

  • Volume 18.1 – hiver-printemps 2023
  • Volume 17.2 – été-automne 2022
  • Volume 17.1 – hiver-printemps 2022
  • Journée internationale des mathématiques: Accromath multilingue
  • Volume 16.2 – été-automne 2021
  • Volume 16.1 – hiver-printemps 2021
  • Volume 15.2 – été-automne 2020
  • Thème spécial: Les mathématiques sont partout
  • Volume 15.1 – hiver-printemps 2020
  • Volume 14.2 – été-automne 2019
  • Volume 14.1 – hiver-printemps 2019
  • Volume 13.2 – été-automne 2018
  • Volume 13.1 – hiver-printemps 2018
  • Volume 12.2 – été-automne 2017
  • Volume 12.1 – hiver-printemps 2017
  • Volume 11.2 – été-automne 2016
  • Volume 11.1 – hiver-printemps 2016
  • Volume 10.2 – été-automne 2015
  • Volume 10.1 – hiver-printemps 2015
  • Volume 9.2 – été-automne 2014
  • Volume 9.1 – hiver-printemps 2014
  • Volume 8.2 – été-automne 2013
  • Volume 8.1 – hiver-printemps 2013
  • Volume 7.2 – été-automne 2012
  • Volume 7.1 – hiver-printemps 2012
  • Volume 6.2 – été-automne 2011
  • Volume 6.1 – hiver-printemps 2011
  • Volume 5.2 – été-automne 2010
  • Volume 5.1 – hiver-printemps 2010
  • Volume 4.2 – été-automne 2009
  • Volume 4.1 – hiver-printemps 2009
  • Volume 3.2 – été-automne 2008
  • Volume 3.1 – hiver-printemps 2008
  • Volume 2.2 – été-automne 2007
  • Volume 2.1 – hiver-printemps 2007
  • Volume 1 – été-automne 2006
  • Article vedette

    Auteurs

    • Michel Adès
    • Antoine Allard
    • Jean Aubin
    • Marie Beaulieu
    • Rosalie Bélanger-Rioux
    • Claude Bélisle
    • Marc Bergeron
    • Pierre Bernier
    • André Boileau
    • Véronique Boutet
    • Pietro-Luciano Buono
    • Massimo Caccia
    • Jérôme Camiré-Bernier
    • France Caron
    • Philippe Carphin
    • Kévin Cazelles
    • Laurent Charlin
    • Pierre Chastenay
    • Noémie Chenail
    • Jocelyn Dagenais
    • Marie-France Dallaire
    • Jean-Lou de Carufel
    • Jean-Marie De Koninck
    • Lambert De Monte
    • Jean-Paul Delahaye
    • Marc-André Desautels
    • Florin Diacu
    • Jimmy Dillies
    • Nicolas Doyon
    • Philippe Drobinski
    • Hugo Drouin-Vaillancourt
    • Louis J. Dubé
    • Thierry Duchesne
    • Matthieu Dufour
    • Stéphane Durand
    • Thomas Erneux
    • Philippe Etchécopar
    • Julien Fageot
    • Charles Fleurent
    • Jérôme Fortier
    • Marlène Frigon
    • Jean-François Gagnon
    • André Garon
    • Christian Genest
    • Denis Gilbert
    • Jonathan Godin
    • Frédéric Gourdeau
    • Samuel Goyette
    • Andrew Granville
    • Jean Guérin
    • Hervé Guillard
    • Abba B. Gumel
    • James A. Hanley
    • Alain Hertz
    • Bernard R. Hodgson
    • Isabelle Jalliffier-Verne
    • Guillaume Jouvet
    • Tomasz Kaczynski
    • Patrick Labelle
    • Marc Laforest
    • Nadia Lafrenière
    • Josiane Lajoie
    • Alexis Langlois-Rémillard
    • Simon-Olivier Laperrière
    • René Laprise
    • Steffen Lauritzen
    • Denis Lavigne
    • Adrien Lessard
    • Steven Lu
    • Jean Meunier
    • Erica Moodie
    • Normand Mousseau
    • Johanna G. Nešlehová
    • Pierre-André Noël
    • Dmitry Novikov
    • Ostap Okhrin
    • Laurent Pelletier
    • Jean-François Plante
    • Serge B. Provost
    • Annie Claude Prud'Homme
    • Benoît Rittaud
    • Louis-Paul Rivest
    • Serge Robert
    • André Ross
    • Christiane Rousseau
    • Guillaume Roy-Fortin
    • Yvan Saint-Aubin
    • Maria Vittoria Salvetti
    • Charles Senécal
    • Vasilisa Shramchenko
    • Robert Smith?
    • Anik Trahan
    • Shophika Vaithyanathasarma
    • William Verreault
    • Redouane Zazoun

Sujets

Algèbre Applications Applications des mathématiques Changements climatiques Climat Construction des mathématiques COVID-19 Cristallographie cryptographie GPS Gravité Géométrie Histoire des mathématiques Imagerie Infini Informatique Informatique théorique intelligence artificielle Jeux mathématiques Logique mathématique Lumière Mathématiques de la planète Terre Mathématiques et architecture mathématiques et art Mathématiques et arts Mathématiques et astronomie Mathématiques et biologie Mathématiques et développement durable Mathématiques et littérature Mathématiques et musique Mathématiques et médecine Mathématiques et physique Mathématiques et transport Modélisation Nombres Portrait d'un mathématicien Portrait d'un physicien Probabilités Probabilités et statistique Racines Rubrique des Paradoxes Section problèmes Théorie des groupes Éditorial Épidémiologie

© 2023 Accromath