Si \(E\) est un ensemble fini de nombres commençant à 2, alors \(E\) ne contient que des nombres pairs.
Le raisonnement portait sur le nombre \(k\) d’éléments de \(E\) et la démonstration était la suivante.
Si \(k =1,\) la propriété est vraie car alors \(E\) ne contient qu’un élément, \(2,\) qui est pair et donc \(E\) ne contient que des nombres pairs.
Supposons que la propriété est vraie pour un ensemble de \(k\) éléments commençant à \(2\) (\(\text{Pro}(k)\) est vraie).
Soit un ensemble \(E\) ayant \(k+1\) éléments et contenant \(2.\) Soient deux parties \(A\) et \(B\) différentes l’une de l’autre, contenues dans \(E,\) chacune ayant \(2\) pour élément et ayant chacune \(k\) éléments.
Puisque \(A\) et \(B\) contiennent \(k\) et commencent à \(2,\) d’après l’hypothèse de récurrence ces sous-ensembles ne contiennent que des nombres pairs. Leur réunion, E, ne contient donc que des nombres pairs et \(\text{Pro}(k+1)\) est vraie.
Le raisonnement par récurrence est terminé et, puisque les deux conditions sont satisfaites, on peut conclure que :
\[ \text{Pro}(n) \text{ est vraie pour tout } n\geq1.\]
Par conséquent, puisque tout ensemble fini commençant à \(2\) ne contient que des nombres pairs, tout ensemble de la forme \(\{2,\,3,\,\dotsc, n\}\) ne contient que des nombres pairs. Donc tout nombre entier plus grand ou égal à \(2\) est pair.
Ce raisonnement par récurrence est faux car pour montrer que pour tout \(k >1,\) \(\text{Pro}(k)\) entraîne \(\text{Pro}(k+1),\) on tenait le raisonnement suivant :
Soit un ensemble \(E\) ayant \(k+1\) éléments et contenant \(2.\) Soient deux parties \(A\) et \(B\) différentes l’une de l’autre, contenues dans \(E,\) chacune ayant \(2\) pour élément et ayant chacune \(k\) éléments.
Or, lorsque \(k = 1,\) toute partie contenue dans \(E,\) ayant \(2\) pour élément et ayant \(k\) éléments est égale à \(\{2\}.\) Il est donc impossible de trouver deux parties \(A\) et \(B\) distinctes comme je le supposais implicitement.
La récurrence proposée était impeccable… sauf pour \(k=1.\)
Donc, tout était faux et le paradoxe n’était qu’une illusion.
