Le raisonnement mathématique, s’il est mené avec rigueur, ne peut conduire que de vérités en vérités. Pourtant, certains raisonnements, présentant tous les dehors d’une rigueur irréprochable, conduisent à des absurdités.
C’est un jeu parfois difficile que de découvrir ce qui cloche dans un raisonnement erroné. Nous allons voir un exemple de raisonnement conduisant à une affirmation absurde en montrant par récurrence1 la propriété suivante :
Si \(E\) est un ensemble fini de nombres commençant à 2, alors \(E\) ne contient que des nombres pairs.
Raisonnons sur le nombre \(k\) d’éléments de \(E.\) Précisément, montrons par récurrence que la propriété \(\text{Pro}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq1,\) où :
\(\text{Pro}(n)\): tout ensemble de \(n\) éléments contenant \(2\) ne contient que des nombres pairs.
Démonstration
Si \(k =1,\) la propriété est vraie car alors \(E\) ne contient qu’un élément, \(2,\) qui est pair et donc \(E\) ne contient que des nombres pairs.
Supposons que \(\text{Pro}(k)\) est vraie et montrons que cela entraîne que \(\text{Pro}(k+1)\) est vraie.
Soit un ensemble \(E\) ayant \(k+1\) éléments et contenant \(2.\) Soient deux parties \(A\) et \(B\) différentes l’une de l’autre, contenues dans \(E,\) chacune ayant \(2\) pour élément et ayant chacune \(k\) éléments. Puisque chacune contient \(k\) éléments dont \(2,\) d’après l’hypothèse de récurrence (\(\text{Pro}(k)\) est vraie), chacune ne contient que des nombres pairs. Leur réunion, \(E,\) ne contient donc que des nombres pairs (car la réunion de deux ensembles ne contenant que des nombres pairs ne contient bien sûr que des nombres pairs). Le raisonnement par récurrence est terminé et, puisque les deux conditions sont satisfaites, on peut conclure que :
\[ \text{Pro}(n) \text{ est vraie pour tout } n\geq1.\]
Nous venons donc de démontrer que tout ensemble fini commençant à \(2\) ne contient que des nombres pairs. Autrement dit, tout ensemble de la forme \(\{2,3,\dotsc,n\}\)
ne contient que des nombres pairs.
Par conséquent,tout nombre entier plus grand ou égal à 2 est pair.
Où est l’erreur?
- Voir l’article Preuves par récurrence dans le présent numéro. ↩
