L’attribution du prix Nobel de chimie 1996 à Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley a suscité beaucoup d’intérêt pour les grosses molécules de carbone appelées fullerènes.¹

Le carbone 60 avec ses doubles liaisons

Alors que les formes connues des molécules de carbone, soit le graphite et le carbone, formaient des structures ouvertes, c’est-à-dire auxquelles on pouvait adjoindre d’autres atomes de carbone (voir encadré  ci-dessous), les atomes des fullerènes sont situés aux sommets d’un polyèdre dans l’espace. Ce sont des structures fermées, dans le sens que toutes leurs liaisons sont occupées, si bien qu’elles ne tendent pas à se lier à d’autres atomes. Le plus connu de ces fullerènes est le carbone 60 aussi appelé Buckminsterfullerène du nom de Buckminster Fuller, ce célèbre architecte qui a conçu de nombreux dômes géodésiques, dont le pavillon des États-Unis à Expo-67, qui est devenu la Biosphère. Comme le nom C₆₀ l’indique, cette molécule a 60 atomes de carbone, lesquels sont disposés aux 60 sommets de l’icosaèdre tronqué ou ballon de soccer.

Le ballon de soccer est un icosaèdre tronqué

Regardons le ballon de soccer. Il est formé de douze pentagones et de vingt hexagones, tous de même arête. Il est inscrit dans une sphère et tous les sommets sont adjacents à un pentagone et à deux hexagones. Ce polyèdre a donc trente-deux faces et soixante sommets. Comptons le nombre d’arêtes. Pour les cinq pentagones on a 5 × 12 = 60 arêtes et pour les hexagones, 6 × 20 = 120 arêtes. Mais chaque arête est partagée par deux polygones. Donc le nombre d’arêtes est:

\[\frac{60+120}{2}=90.\]

Résumons cette information. Soit $S$ le nombre de sommets, $F$ le nombre de faces et $A$ le nombre d’arêtes. On a $S=60, A = 90$ et $F=32.$ Nous pouvons remarquer que:

\[S – A + F = 60 – 90 + 32 = 2.\]

C’est la célèbre formule d’Euler.

Nous allons démontrer la formule d’Euler ci-dessous pour les polyèdres inscrits dans une sphère comme l’icosaèdre tronqué.

Avant de démontrer cette formule, on peut faire d’autres vérifications. Considérons le cube (hexaèdre) qui est l’un des cinq polyèdres réguliers aussi appelés solides platoniciens. Les polyèdres réguliers sont ceux dont toutes les faces sont des polygones réguliers congruents.

Le cube a huit sommets, six faces et douze arêtes. Donc, on a encore:

\[S – A + F = 8 – 12 + 6 = 2.\]

Dans la section Problèmes, le lecteur pourra faire la vérification pour les autres corps réguliers donnés dans l’encadré ci-dessous.

Le carbone

Le carbone est tétravalent, mais le nombre d’atomes avec lesquels il est lié dépend de son hybridation, c’est-à-dire qu’il peut être lié à quatre, trois ou deux autres atomes.

Dans le cas du diamant, les atomes de carbone sont placés aux sommets et au centre de tétraèdres réguliers. Chaque atome au centre d’un tétraèdre étant relié aux 4 sommets du tétraèdre, cela donne au diamant sa grande dureté.

Pour sa part, le graphite est un empilement de feuilles de carbone appelé le graphène. Dans ce cas, le carbone partage une liaison avec trois voisins et adopte une configuration planaire.

Représentation graphique d’une couche de graphène.

Beaucoup de liaisons entre les carbones sont doubles et il y a déplacement des électrons, ce qui en fait un semi-métal. Il existe une faible liaison entre les feuilles dans le plan perpendiculaire à la couche et cela permet de les relier ensemble. Mais ces liaisons inter-couches sont fragiles. On peut les briser facilement, ce qui permet aux couches de glisser l’une sur l’autre. C’est ce qui donne au graphite ses propriétés anti-adhésives exceptionnelles.

Dans les deux cas, les bords de la structure peuvent être en liaison avec d’autres atomes.

Corps réguliers de Platon

Revenons à nos grosses molécules de carbone: leur structure spatiale est toujours composée seulement de pentagones et d’hexagones. On peut changer le nombre d’hexagones. Parmi les fullerènes, on distingue ceux qui ont les mêmes symétries que le dodécaèdre. Dans le cas du Carbone 20 (C₂₀), on a vingt atomes de carbone situés aux sommets du dodécaèdre. Dans le cas du Carbone 60, deux pentagones sont reliés entre eux par une arête commune à deux hexagones. Dans le cas du Carbone 80, deux pentagones « voisins » sont attachés à deux faces opposées d’un même hexagone. Le polyèdre obtenu est appelé triacontaèdre rhombique tronqué. Il a trente hexagones et douze pentagones (voir figure).

Remarquez que les hexagones de ce polyèdre ne peuvent être réguliers! (Pourquoi?) Et si on rajoute plus d’hexagones, on obtient des polyèdres avec encore plus de sommets. Ces molécules existent. Remarquons que, lorsque nous les avons construites à partir du Carbone 60 en changeant le nombre d’hexagones, nous sommes toujours restés avec douze pentagones. Nous venons de découvrir une loi très générale.

Preuve: On applique la formule d’Euler: soit $M,$ le nombre de pentagones et $N,$ le nombre d’hexagones, alors le nombre de faces est $F = M + N.$ De plus, chaque sommet est partagé par trois polygones. Donc le nombre de sommets est:

\[S=\frac{5M+6N}{3}.\]

Chaque arête est partagée par deux polygones. Donc le nombre d’arêtes est:

\[A=\frac{5M+6N}{3}.\]

Alors, en appliquant la formule d’Euler:

Par conséquent, $S – A + F$ vaut 2 si et seulement si $M,$ le nombre de pentagones, est douze et il n’y a aucune contrainte sur $N,$ le nombre d’hexagones.

Grünbaum et Motzin (1963) ont montré que pour tout $N > 1,$ il existe un polyèdre avec exactement douze pentagones et $N$ hexagones. Goldberg (1937) a montré qu’il en existe qui ont la même symétrie que l’icosaèdre tronqué (ou que le dodécaèdre) dès que $N$ est de la forme:

\[N = 10(a^2 + ab + b^2 – 1),\]

avec $0 ≤ b ≤ a.$ Le dodécaèdre correspond à $a=1$ et $b=0,$ l’icosaèdre tronqué à $a=b=1$ et le triacontaèdre rhombique tronqué à $a = 2$ et $b = 0.$

Les nanotubes de carbone

Parmi les autres molécules de carbone remarquables, on entend souvent parler des nanotubes de carbone. Ces nanotubes sont des fibres d’une rigidité exceptionnelle par rapport à celle de l’acier, tout en étant très légers. La rigidité est maximale lorsqu’on construit des nanotubes mono-feuillets (c’est-à-dire avec une seule couche d’atomes). Ils ont aussi des propriétés électriques et optiques remarquables. Entre autres, suivant leur géométrie, ils peuvent être conducteurs ou semi-conducteurs.

Comment sont composées ces molécules? Il est facile de se convaincre que si l’on ne considère que des hexagones, alors on obtient un pavage régulier du plan, à l’image du graphène décrit précédemment. Voici trois exemples de tels pavages.

Les nanotubes de carbone sont obtenus en collant les extrémités verticales d’un pavage et en rajoutant un ou deux bouts.

Prenons une bande formée d’un de ces pavages et enroulons-la pour former un cylindre en collant les deux bords. On obtient ainsi un cylindre ouvert aux deux bouts. Ce n’est pas le cas des nanotubes de carbone lesquels sont souvent refermés à un bout par une capsule en demi-sphère. Comment? Par exemple, il peut s’agir d’une capsule qui ressemble à un demi-ballon de soccer. Ce bout a donc six pentagones, entourés d’un certain nombre d’hexagones. Si on avait deux bouts notre nanotube aurait encore douze pentagones lorsqu’il est fermé! Mais souvent, l’autre bout contient le catalyseur qui a servi à la croissance du tube. On a différents nanotubes de carbone suivant l’orientation des hexagones. On distingue deux types de nanotubes, chiraux et non chiraux. Dans les nanotubes chiraux, les rangées d’hexagones sont des spirales enroulées le long du cylindre et appelées vis d’Archimède. Les autres nanotubes sont non chiraux. On se donne le type de nanotube en se donnant l’hélicité, h, soit l’angle minimal entre une arête d’un hexagone et l’axe du cylindre. On a $h\in[0,\pi/6],$ les cas $h=0$ (tube « zigzag ») et $h = \pi/6$ (tube « chaise ») correspondant aux nanotubes non chiraux.

Laissons maintenant nos molécules de carbone et revenons discuter de la formule d’Euler. Nous allons prendre un détour pour la montrer et remarquer une autre propriété remarquable des polyèdres: la formule de Descartes.

La formule de Descartes

Comment construit-on un polyèdre? On dessine les polygones sur un carton pour ensuite faire le montage. À chaque sommet on assemble un certain nombre de polygones. La somme des angles des polygones à ce sommet est inférieure à $2\pi,$ sinon les polygones seraient dans un plan. La différence entre $2\pi$ et la somme des angles à ce sommet est appelée le manque à ce sommet. Le dessin suivant illustre cette démarche pour construire un cube.

Cube

Pour former le cube, on assemble exactement 3 carrés à chaque sommet. C’est pourquoi la somme des angles des polygones adjacents à un sommet est:

\[3 \times \frac{\pi}{2}\]

et le manque à chaque sommet est

\[\frac{\pi}{2}.\]

Comme on a huit sommets, la somme des manques est

\[8 \times \frac{\pi}{2}=4\pi.\]

Cette propriété est tout à fait générale.

Dans la section Problèmes de ce numéro, le lecteur pourra faire la vérification pour les autres corps réguliers platoniciens, ainsi que sur l’icosaèdre tronqué et le triacontaèdre rhombique tronqué.

Nous allons montrer la formule de Descartes dans le cas particulier d’un polyèdre inscrit dans une sphère de rayon unitaire et formé seulement de triangles. Joignons les sommets de ces triangles par des grands cercles (un grand cercle sur la sphère est un cercle situé dans un plan passant par le centre de la sphère). Nous obtenons une triangulation de la sphère, c’est-à-dire une décomposition de la sphère en triangles sphériques. On utilise la formule de l’aire d’une sphère, Aire\( = 4\oi r^2,\) d’où l’aire de la sphère de rayon unitaire est $4\pi.$ Nous allons montrer que cette surface est égale à la somme des manques du polyèdre. Pour cela nous allons montrer un résultat remarquable:

Le triangle sphérique d’angles \(\alpha,\beta,\gamma\) et d’aire \(T\)

Preuve: Remarquons que deux grands cercles se coupent toujours en deux points diamétralement opposés. Les trois grands cercles formant les côtés du triangle découpent sur la sphère huit triangles sphériques, égaux deux à deux. Appelons $T,$ l’aire du triangle que nous considérons et $T_1, T_2, T_3,$ les aires des triangles sphériques adjacents.

Commençons par nous convaincre que l’aire d’un quartier de sphère entre les deux pôles d’angle $\alpha$ est de $2\alpha.$ C’est une règle de trois puisque l’angle au sommet est de $2\pi,$ alors que la surface de la sphère est de $4\pi.$ En regardant la figure précédente, cela nous donne donc les équations:

\[(^*) \begin{cases}T+T_1=2\alpha \\T+T_2=2\beta \\ T+T_3=2\gamma \end{cases}\]

D’autre part, regardons la surface au-dessus du grand cercle incliné. Son aire est $2\pi$ (la moitié de l’aire de la sphère). Donc:

\[(^{**}) T + T_1 + T_2 + T_3 = 2\pi.\]

Si on additionne les 3 équations de (*), on a aussi:

\[(^{***}) 3T + T_1 + T_2 + T_3 = 2(\alpha + \beta + \gamma).\]

En soustrayant (**) de (***) on obtient:

\[2T = 2(\alpha +\beta + \gamma – \pi),\]

qui est le résultat cherché.

Preuve de la formule de Descartes

Considérons un polyèdre de faces triangulaires inscrit sur la sphère, ayant $F$ faces, $S$ sommets et $A$ arêtes. L’aire de la sphère, soit $4\pi,$ est la somme des aires des triangles sphériques. Soient $\alpha_i,$ $\beta_i$ et $\gamma_i,$ les angles de chaque triangle sphérique. C’est pourquoi:

\[4 \pi= \sum(\alpha_i + \beta_i + \gamma_i-F \pi.\]

Mais remarquons qu’à chaque sommet la somme des angles des triangles sphériques vaut $2\pi.$ Donc $4\pi = 2S\pi – F\pi.$

Voyons que cette somme est la somme des manques. En effet, pour chaque sommet on a compté un angle de $2\pi:$ cela revient à considérer qu’on a déplié le polyèdre sur un plan comme pour le cube déplié à la page 13. Maintenant, quelle est la somme totale des angles du polyèdre déplié? Comme le polyèdre est formé de triangles plans et comme la somme des angles de chaque triangle plan est de $\pi,$ la somme totale des angles du polyèdre est de $F\pi,$ puisqu’on a $F$ triangles. Donc $2S\pi – F\pi$ représente bien la somme des manques et on a bien montré la loi de Descartes:

De la formule de Descartes à la formule d’Euler

On y est presque. Puisque toutes les faces sont des triangles, chaque face a 3 arêtes et chaque arête est partagée par 2 faces, d’où:

\[A=\frac{3}{2}F,\]

ce qui donne $2A = 3F$ ou encore:

\[2A – 2F = F.\]

En divisant la loi de Descartes par $\pi,$ on a donc:

\[4=2S–F=2S–(2A–2F)=2(S–A+F),\]

qui est la formule d’Euler!

Le cas général
Bien sûr on a montré les formules d’Euler et de Descartes seulement dans le cas de polyèdres à faces triangulaires inscrits dans la sphère. Le cas général n’est pas beaucoup plus difficile. Regardons la formule d’Euler: Si on divise un polygone à $n$ côtés en triangles, on a ajouté un sommet, $n – 1$ faces (car on en avait une et on en a maintenant $n$) et $n$ arêtes. Donc le nombre $S–A+F$ n’a pas varié, car on lui a ajouté $1 – n + (n – 1) = 0.$

Division d’un polygone en triangles

Si on a un polyèdre quelconque, on peut le déformer en étirant ses sommets jusqu’à ce qu’ils soient sur la sphère. On peut faire de même avec les sommets artificiels obtenus par division des polygones en triangles: on peut aussi étirer le sommet central jusqu’à ce qu’il soit sur la sphère. En jouant avec ces idées, on peut se convaincre que la formule d’Euler est vraie pour un polyèdre quelconque. Quant à la formule de Descartes, on peut la déduire de la formule d’Euler en faisant le chemin inverse du chemin parcouru pour montrer la formule d’Euler. Nous laissons les détails comme exercice.

Pour en s\(\alpha\)voirplus !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fullerene
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nanotube

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