Il s’agit à nouveau d’un problème de chapeaux. Le congrès annuel des myopes se réunit. Un jeu est organisé avec 11 des congressistes. Après quelques minutes de discussion, pendant lesquelles les 11 myopes ont pu convenir de la stratégie qu’ils allaient utiliser, l’arbitre du jeu pose un chapeau noir ou rouge sur la tête de chacun et dispose les joueurs en cercle de telle façon que:
– Le myope 1 voit le chapeau du myope 11 et lui seulement;
– Le myope 2 voit le chapeau du myope 1 et lui seulement;
– Le myope 3 voit le chapeau du myope 2 et lui seulement;
– …
– Le myope 11 voit le chapeau du myope 10 et lui seulement.
Simultanément, chacun des 11 myopes indique la couleur du chapeau qu’il pense porter. Il a été convenu que l’ensemble des 11 joueurs gagnait le droit de revenir gratuitement au congrès l’année suivante si l’un d’eux au moins donnait la bonne réponse.
En répondant au hasard, ils ont peu de chance de perdre, mais l’arbitre a pu les espionner pendant qu’ils parlaient avant l’épreuve et il est possible qu’il exploite ce qu’il a entendu pour les faire perdre. Pourtant, même dans un tel cas, les 11 joueurs sont certains de gagner. Quelle stratégie ont-ils convenu qui assure à 100 % que l’un d’eux (au moins) proposera la bonne couleur pour le chapeau qu’il porte?
L’existence d’une telle stratégie peut vous sembler paradoxale (puisque l’arbitre fait ce qu’il veut et qu’il a entendu la discussion des 11 myopes), pourtant elle ne l’est pas et en recherchant un peu vous la découvrirez.
Plus étonnant, et maintenant on est encore plus proche d’un paradoxe, j’attends des lecteurs qu’ils résolvent un second problème:
Prouvez que si l’un des myopes est en réalité un aveugle, alors cette fois aucune stratégie convenue à l’avance ne peut fonctionner dans 100 % des cas. Notez bien que, comme précédemment, on ne demande aux joueurs que de s’arranger pour qu’au moins l’un d’eux devine correctement la couleur du chapeau qu’il porte.
Cette seconde partie du problème consiste à démontrer ce qu’on nomme un « résultat négatif ». L’histoire des mathématiques en compte de nombreux: la démonstration découverte par les savants grecs que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel (c’est-à-dire qu’il n’existe pas deux entiers $p$ et $q,$ tels que $\sqrt{2} = p/q$) est sans doute le premier résultat de ce type. Ici, il faut démontrer qu’aucune stratégie de jeu n’est possible si la ronde des 11 personnages est composée de 10 myopes et 1 aveugle.
