L’importance du nombre \(\pi\) n’est plus à démontrer. Pourtant la propriété suivante de \(\pi\) (découverte par E. P. Northrop) ne manquera pas de vous étonner.
Toute série converge vers \(\pi\)
En effet, soit une série quelconque (par prudence et si vous savez ce que c’est, vous pouvez considérer une série absolument convergente) :
\[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots\]
Les égalités (finies) suivantes sont immédiates :
\begin{align*} a_1 &= \pi+(a_1 -\pi) \\ a_2 &= -(a_1-\pi)+(a_1+a_2 -\pi ) \\ a_3 &=-(a_1+a_2- \pi)+(a_1+a_2+a_3-\pi) \\ a_4 &= -(a_1+a_2+a_3-\pi)+(a_1+a_2+a_3+a_4-\pi) \\ \ldots \end{align*}
En ajoutant toutes ces égalités, nous obtenons une nouvelle égalité :
\begin{align*}a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+ \cdots =& \pi + (a_1-\pi) – (a_1-\pi) \\ &+\,(a_1+a_2- \pi)-(a_1+a_2- \pi) \\ &+\, (a_1+a_2+a_3-\pi)-(a_1+a_2+a_3-\pi) \\ &+\, (a_1+a_2+a_3+a_4-\pi) \cdots\end{align*}
Toutes les parenthèses dans le second membre de cette égalité se simplifient deux à deux et disparaissent. Donc :
\[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+ \cdots =\pi\]
Pensez-vous que cela soir normal?
Parmi les conséquences de notre démonstration, on remarque que si tous les \(a_i\) sont nuls à partir de \(a_5,\) on obtient :
\( \qquad \qquad a_1+a_2+a_3+a_4=\pi\)
Donc, toute somme de quatre nombres vaut \(\pi\).Mieux encore, si tous les \(a_i\) sont nuls à partir de \(a_2,\) on a:
\( \qquad \qquad a_1=\pi.\)Par conséquent, tout nombre est égal à \(\pi.\)
Il doit bien y avoir quelque chose qui cloche!
